Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
; ela está definida para . O ponto está no domínio. - Se substituirmos
diretamente, obtemos numerador e denominador , ou seja, uma forma do tipo , que é indeterminada. Logo não podemos concluir o valor do limite por substituição direta; é preciso manipular a expressão.
Passo 2
O que significa uma indeterminação
e como lidar?
Quando ao substituir o ponto na expressão aparece , isso indica que tanto numerador quanto denominador tendem a zero. Nesse caso o limite pode existir e ser finito, infinito ou não existir — depende da taxa com que numerador e denominador vão a zero. Métodos comuns para resolver esse tipo de limite sem regra de L’Hôpital (quando não for permitido ou ainda não estudado) incluem fatoração, cancelamento ou, no caso de radicais, racionalização usando o conjugado. Aqui temos um radical no numerador, então a técnica natural é racionalizar o numerador.
Quando ao substituir o ponto na expressão aparece
Passo 3
Explicar a racionalização pelo conjugado.
Se temos uma expressão com no numerador do tipo
, multiplicar numerador e denominador por
é útil porque usa a identidade de diferença de quadrados:
Se temos uma expressão com
que elimina a raiz. Nesse limite, escolhemos o conjugado de
, que é
.
Passo 4
Aplicar a racionalização passo a passo. Multiplicamos a fração por
escrito como
. Para
(pois no denominador há
) isso é válido:
Agora usamos a identidade diferença de quadrados no numerador:
Portanto para
a expressão simplifica para
Observação: a simplificação cancelou o fator
que causava a indeterminação; agora temos uma função mais simples, definida perto de
(exceto possivelmente em pontos onde o denominador seria zero, o que aqui não ocorre porque
).
Passo 5
Avaliar o limite da expressão simplificada.
Para próximo de
(e
) a expressão equivalente é
. A função
é contínua em
, então
é contínua em
. Pela propriedade de continuidade e operações contínuas,
Para
Calculando
, obtemos
Passo 6
Checagem e observação alternativa (intuitiva e útil para provas).
Uma forma alternativa de ver rapidamente esse limite é notar que ele é exatamente o coeficiente diferencial da função no ponto
, pois tomando
temos
Uma forma alternativa de ver rapidamente esse limite é notar que ele é exatamente o coeficiente diferencial da função
com
. Esse quociente tende à derivada
. E a derivada de
é
. Em
isso dá
. Essa é só outra interpretação; a solução algébrica por racionalização já provou o resultado sem usar derivadas.