Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x+4}; ela está definida para x\ge -4. O ponto x=0 está no domínio.
  • Se substituirmos x=0 diretamente, obtemos numerador \sqrt{4}-2=0 e denominador 0, ou seja, uma forma do tipo 0/0, que é indeterminada. Logo não podemos concluir o valor do limite por substituição direta; é preciso manipular a expressão.

Passo 2

O que significa uma indeterminação 0/0 e como lidar?
Quando ao substituir o ponto na expressão aparece 0/0, isso indica que tanto numerador quanto denominador tendem a zero. Nesse caso o limite pode existir e ser finito, infinito ou não existir — depende da taxa com que numerador e denominador vão a zero. Métodos comuns para resolver esse tipo de limite sem regra de L’Hôpital (quando não for permitido ou ainda não estudado) incluem fatoração, cancelamento ou, no caso de radicais, racionalização usando o conjugado. Aqui temos um radical no numerador, então a técnica natural é racionalizar o numerador.

Passo 3

Explicar a racionalização pelo conjugado.
Se temos uma expressão com \sqrt{\cdot} no numerador do tipo \sqrt{A}-B, multiplicar numerador e denominador por \sqrt{A}+B é útil porque usa a identidade de diferença de quadrados:
(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2,
que elimina a raiz. Nesse limite, escolhemos o conjugado de \sqrt{x+4}-2, que é \sqrt{x+4}+2.

Passo 4

Aplicar a racionalização passo a passo. Multiplicamos a fração por 1 escrito como \dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}. Para x\neq0 (pois no denominador há x) isso é válido:
\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}.
Agora usamos a identidade diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)=(x+4)-4 = x.
Portanto para x\neq0 a expressão simplifica para
\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.
Observação: a simplificação cancelou o fator x que causava a indeterminação; agora temos uma função mais simples, definida perto de x=0 (exceto possivelmente em pontos onde o denominador seria zero, o que aqui não ocorre porque \sqrt{x+4}+2>0).

Passo 5

Avaliar o limite da expressão simplificada.
Para x próximo de 0 (e x\neq0) a expressão equivalente é \dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}. A função \sqrt{t} é contínua em t=4, então \sqrt{x+4} é contínua em x=0. Pela propriedade de continuidade e operações contínuas,
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}\big(\sqrt{x+4}+2\big)}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}.
Calculando \sqrt{4}=2, obtemos
\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Checagem e observação alternativa (intuitiva e útil para provas).
Uma forma alternativa de ver rapidamente esse limite é notar que ele é exatamente o coeficiente diferencial da função f(t)=\sqrt{t} no ponto t=4, pois tomando t=x+4 temos
\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{\sqrt{t}-\sqrt{4}}{t-4}
com t\to 4. Esse quociente tende à derivada f'(4). E a derivada de f(t)=\sqrt{t}=t^{1/2} é f'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}. Em t=4 isso dá 1/(2\cdot 2)=1/4. Essa é só outra interpretação; a solução algébrica por racionalização já provou o resultado sem usar derivadas.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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