Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{4}-1}{x-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular \lim_{x\to 1^{+}} \dfrac{x^{4}-1}{x-1}.
Informações relevantes:
  • A expressão é a razão entre o polinômio x^{4}-1 e a expressão x-1.
  • Estamos pedindo o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (isto é, x>1 e x\to1).
  • Note que se substituirmos x=1 diretamente obtemos uma forma indefinida \tfrac{0}{0}; portanto a expressão não está definida em x=1, mas o limite pode existir.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir x=1:
\frac{1^{4}-1}{1-1}=\frac{0}{0},
que é uma indeterminação. Quando aparece \tfrac{0}{0} precisamos manipular a expressão (álgebra, fatoração, ou regras de limite) para obter uma forma que permita avaliar o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador usando a identidade para diferenças de potências:
a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}).
Aplicando com a=x, b=1 e n=4 obtemos
x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1).

Passo 4

Cancelar o fator comum (x-1) (válido para x\neq1, e como estamos considerando x\to1 com x\neq1 isso é permitido). Assim, para x perto de 1 e distinto de 1,
\frac{x^{4}-1}{x-1}=x^{3}+x^{2}+x+1.
Essa simplificação remove a indeterminação.

Passo 5

Usar continuidade do polinômio para avaliar o limite. Polinômios são funções contínuas em toda parte, logo o limite quando x\to1^{+} da expressão simplificada é simplesmente o valor da expressão em x=1:
\lim_{x\to1^{+}}\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)=1^{3}+1^{2}+1+1=4.

Passo 6

(Método alternativo e rápido para lembrar na prova) Observação via regra de L’Hôpital: como a substituição direta dá \tfrac{0}{0} e numerador e denominador são diferenciáveis perto de 1, aplica-se L’Hôpital:
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{4}-1}{x-1}=\lim_{x\to1^{+}}\frac{4x^{3}}{1}=4\cdot 1^{3}=4.
As duas abordagens coincidem; a ideia-chave é que a indeterminação é removível e o limite existe.

Passo 7

Interpretação final e dica prática: a função original tem uma descontinuidade removível em x=1; a extensão contínua no ponto 1 dá o valor 4. Um resultado útil para lembrar na prova: \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{n}-1}{x-1}=n (aqui com n=4).

Resposta

\;4\;

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