Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A expressão é a razão entre o polinômio
e a expressão . - Estamos pedindo o limite quando
se aproxima de pela direita (isto é, e ). - Note que se substituirmos
diretamente obtemos uma forma indefinida ; portanto a expressão não está definida em , mas o limite pode existir.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao substituir
:
que é uma indeterminação. Quando aparece
precisamos manipular a expressão (álgebra, fatoração, ou regras de limite) para obter uma forma que permita avaliar o limite.
Passo 3
Fatorar o numerador usando a identidade para diferenças de potências:
Aplicando com
,
e
obtemos
Passo 4
Cancelar o fator comum
(válido para
, e como estamos considerando
com
isso é permitido). Assim, para
perto de
e distinto de
,
Essa simplificação remove a indeterminação.
Passo 5
Usar continuidade do polinômio para avaliar o limite. Polinômios são funções contínuas em toda parte, logo o limite quando
da expressão simplificada é simplesmente o valor da expressão em
:
Passo 6
(Método alternativo e rápido para lembrar na prova) Observação via regra de L’Hôpital: como a substituição direta dá
e numerador e denominador são diferenciáveis perto de
, aplica-se L’Hôpital:
As duas abordagens coincidem; a ideia-chave é que a indeterminação é removível e o limite existe.
Passo 7
Interpretação final e dica prática: a função original tem uma descontinuidade removível em
; a extensão contínua no ponto
dá o valor
. Um resultado útil para lembrar na prova:
(aqui com
).