Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- É um limite lateral à direita:
significa que estamos nos aproximando de por valores de maiores que (ou seja, próximos de ). - A expressão envolve valor absoluto
, que tem comportamento diferente dependendo do sinal de .
Passo 2
Entender o valor absoluto quando
Aqui
então
. Logo, para
vale
Passo 3
Substituindo isso na expressão do limite (lembre que estamos apenas considerando
):
Portanto o problema reduz-se a estudar
Passo 4
Mudar a variável para ver o comportamento perto de zero. Defina
. Quando
temos
(isto é,
e tende a zero). A expressão fica
e o limite transforma-se em
Intuição: quando
é um número positivo cada vez menor (por exemplo
,
,
),
vale
,
,
— ou seja, cresce sem limite. Assim a função tende a
.
Passo 5
Prova rigorosa de que tende a
. Queremos mostrar que para todo número
existe
tal que, se
, então
.
Escolha
Se
então
. Invertendo (ambos positivos) obtemos
Isso mostra exatamente que a função pode ser feita maior que qualquer
ao aproximarmos
de
pela direita. Portanto
Passo 6
Interpretação final: o limite é infinito no sentido que a expressão cresce sem limite positivo quando
se aproxima de
vindo da direita. Por isso, não existe um limite finito; usamos a notação
para indicar essa divergência.