Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{|2-x|}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{|2-x|}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É um limite lateral à direita: x\to2^{+} significa que estamos nos aproximando de 2 por valores de x maiores que 2 (ou seja, x>2 próximos de 2).
  • A expressão envolve valor absoluto |2-x|, que tem comportamento diferente dependendo do sinal de 2-x.

Passo 2

Entender o valor absoluto quando x>2\). Lembra: para qualquer número \(y\), \[|y|= \begin{cases} y, & \text{se } y\ge0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y=2-x\]. Se \(x>2 então 2-x<0. Logo, para x>2 vale
|2-x|=-(2-x)=x-2.]

Passo 3

Substituindo isso na expressão do limite (lembre que estamos apenas considerando x>2):
\frac{1}{|2-x|}=\frac{1}{x-2}\quad\text{para }x>2.
Portanto o problema reduz-se a estudar
\lim_{x\to2^{+}}\frac{1}{x-2}.

Passo 4

Mudar a variável para ver o comportamento perto de zero. Defina h=x-2. Quando x\to2^{+} temos h\to0^{+} (isto é, h>0 e tende a zero). A expressão fica
\frac{1}{x-2}=\frac{1}{h},
e o limite transforma-se em
\lim_{h\to0^{+}}\frac{1}{h}.
Intuição: quando h é um número positivo cada vez menor (por exemplo h=0,1, h=0,01, h=0,001), \dfrac{1}{h} vale 10, 100, 1000 — ou seja, cresce sem limite. Assim a função tende a +\infty.

Passo 5

Prova rigorosa de que tende a +\infty. Queremos mostrar que para todo número M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-2<\delta, então \dfrac{1}{x-2}>M.
Escolha
\delta=\frac{1}{M}.
Se 0<x-2<\delta então 0<x-2<\dfrac{1}{M}. Invertendo (ambos positivos) obtemos
\frac{1}{x-2}>M.
Isso mostra exatamente que a função pode ser feita maior que qualquer M>0 ao aproximarmos x de 2 pela direita. Portanto
\lim_{x\to2^{+}}\frac{1}{x-2}=+\infty.

Passo 6

Interpretação final: o limite é infinito no sentido que a expressão cresce sem limite positivo quando x se aproxima de 2 vindo da direita. Por isso, não existe um limite finito; usamos a notação \, +\infty para indicar essa divergência.

Resposta

+\infty

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