Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se o limite
. - A expressão tem um valor absoluto
no denominador, e o ponto onde a aproximação ocorre é . - Trata-se explicitamente de um limite pela direita (notação
), ou seja, estamos interessados em valores de que se aproximam de com .
Passo 2
Entender o valor do módulo perto de
- No nosso caso
suficientemente próximos de
com temos . - Logo, para
perto de e maior que ,
Passo 3
Simplificar a expressão usando a informação do Passo 2:
- Substituindo
na expressão para ,
- Agora fatoramos
como diferença de quadrados:
- Portanto, para
e ,
onde a simplificação é válida porque no processo do limite
nunca é exatamente
, apenas se aproxima.
Passo 4
Calcular o limite usando a forma simplificada:
- Para
próximos de pela direita a expressão vale . Funções polinomiais são contínuas, então o limite de quando é simplesmente o valor em :
- Uma checagem numérica rápida para intuição: se
então que está perto de e tende para quando se aproxima mais de .
Passo 5
Observação sobre o limite bilateral (opcional, para contexto):
- Só para constar: se fosse o limite
(pela esquerda), então e a expressão se tornaria , cujo limite à esquerda é . Assim o limite bilateral não existiria. Mas a questão pede apenas o limite pela direita, que existe e é .
Resposta
2