Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-1}{|x-1|}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se o limite \lim_{x\to1^{+}} \dfrac{x^{2}-1}{|x-1|}.
  • A expressão tem um valor absoluto |x-1| no denominador, e o ponto onde a aproximação ocorre é x=1.
  • Trata-se explicitamente de um limite pela direita (notação 1^{+}), ou seja, estamos interessados em valores de x que se aproximam de 1 com x>1.

Passo 2

Entender o valor do módulo perto de x=1\): - Lembrando a definição de módulo: para qualquer número \(a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
  • No nosso caso a=x-1\]. Como estamos fazendo o limite pela direita, para \(x suficientemente próximos de 1 com x>1 temos x-1>0.
  • Logo, para x perto de 1 e maior que 1,
|x-1| = x-1.]

Passo 3

Simplificar a expressão usando a informação do Passo 2:
  • Substituindo |x-1|=x-1 na expressão para x>1,
\frac{x^{2}-1}{|x-1|} = \frac{x^{2}-1}{x-1}\quad\text{(para }x>1\text{, }x\neq1\text{).}
  • Agora fatoramos x^{2}-1 como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • Portanto, para x>1 e x\neq1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,
onde a simplificação é válida porque no processo do limite x nunca é exatamente 1, apenas se aproxima.

Passo 4

Calcular o limite usando a forma simplificada:
  • Para x próximos de 1 pela direita a expressão vale x+1. Funções polinomiais são contínuas, então o limite de x+1 quando x\to1 é simplesmente o valor em x=1:
\lim_{x\to1^{+}}(x+1)=1+1=2.
  • Uma checagem numérica rápida para intuição: se x=1{,}1 então \dfrac{x^{2}-1}{|x-1|}=\dfrac{1{,}21-1}{0{,}1}=2{,}1 que está perto de 2 e tende para 2 quando x se aproxima mais de 1.

Passo 5

Observação sobre o limite bilateral (opcional, para contexto):
  • Só para constar: se fosse o limite \lim_{x\to1^{-}} (pela esquerda), então |x-1|=1-x e a expressão se tornaria -x-1, cujo limite à esquerda é -2. Assim o limite bilateral \lim_{x\to1} não existiria. Mas a questão pede apenas o limite pela direita, que existe e é 2.

Resposta

2

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