Encontre os limites das funções a seguir. Justifique, caso o limite não exista.
lim x 1 raizx^3+3 x^2-9 x+5x-1.

Passo 1

A ideia aqui é calcular o limite limxto1 raizx^3+3x^2-9x+5x-1. O conteúdo envolve limites de funções com indeterminação 0/0, fatoração de polinômio e análise de limites laterais.

Passo 2

Para ver que há indeterminação, substituímos x=1:\n raiz1^3+3cdot1^2-9cdot1+5=raiz0=0 e o denominador 1-1=0. Logo temos 0/0.

Passo 3

Vamos simplificar o radicando fazendo a troca t=x-1, ou seja, x=1+t. Expandindo o polinômio:
(1+t)^3 + 3(1+t)^2 - 9(1+t) + 5 = 1+3t+3t^2+t^3 + 3+6t+3t^2 -9 -9t +5 = t^2(6 + t)

Passo 4

Isso mostra que x^3+3x^2-9x+5 = t^2(6+t). Então o quociente vira:
raizx^3+3x^2-9x+5x-1 = raizt^2(6+t)t = |t|raiz6+tt = |t|traiz6+t

Passo 5

Agora analisamos os dois lados de xto1 (isto é, tto0):
  • Se tto0^+ ( xto1^+ ), então |t|/t=1 e o limite é raiz6+0=raiz6.
  • Se tto0^- ( xto1^- ), então |t|/t=-1 e o limite é -raiz6+0=-raiz6.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite bilateral não existe, pois limxto1^-raizx^3+3x^2-9x+5x-1=-raiz6 e limxto1^+raizx^3+3x^2-9x+5x-1=raiz6.

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