Primeira Prova
Seja a função
e
:
Interpretar geometricamente
.
Seja a função
Interpretar geometricamente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente interpretar, ou seja, entender de forma geométrica, o que significa $ f^{\prime}(a) $ para uma função $ y = f(x) $ no ponto $ x = a $. Aqui, estamos lidando com o conceito de derivada, que é fundamental no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto, $ f^{\prime}(a) $, representa a taxa de variação da função naquele ponto. Mas o que isso significa visualmente?
Passo 3
Geometricamente, $ f^{\prime}(a) $ é a inclinação da reta tangente à curva da função $ y = f(x) $ no ponto onde $ x = a $. A reta tangente é uma linha que “toca” a curva apenas naquele ponto e tem a mesma direção que a curva naquele instante.
Passo 4
Para visualizar isso, imagine desenhar a curva da função no gráfico. No ponto $ (a, f(a)) $, você desenha uma reta que toca exatamente nesse ponto e segue a mesma direção da curva. A inclinação dessa reta é exatamente o valor de $ f^{\prime}(a) $.
Passo 5
Essa interpretação é super útil porque nos dá uma maneira de entender como a função está se comportando naquele ponto específico. Se a inclinação for positiva, a função está aumentando naquele ponto; se for negativa, está diminuindo.
Resposta
Assim, geometricamente, $ f^{\prime}(a) $ representa a inclinação da reta tangente à curva da função $ y = f(x) $ no ponto $ x = a $.