Primeira Prova
Seja a função y=f(x) e x=a in Dom(f) :
Interpretar geometricamente f^prime(a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente interpretar, ou seja, entender de forma geométrica, o que significa $ f^{\prime}(a) $ para uma função $ y = f(x) $ no ponto $ x = a $. Aqui, estamos lidando com o conceito de derivada, que é fundamental no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto, $ f^{\prime}(a) $, representa a taxa de variação da função naquele ponto. Mas o que isso significa visualmente?

Passo 3

Geometricamente, $ f^{\prime}(a) $ é a inclinação da reta tangente à curva da função $ y = f(x) $ no ponto onde $ x = a $. A reta tangente é uma linha que “toca” a curva apenas naquele ponto e tem a mesma direção que a curva naquele instante.

Passo 4

Para visualizar isso, imagine desenhar a curva da função no gráfico. No ponto $ (a, f(a)) $, você desenha uma reta que toca exatamente nesse ponto e segue a mesma direção da curva. A inclinação dessa reta é exatamente o valor de $ f^{\prime}(a) $.

Passo 5

Essa interpretação é super útil porque nos dá uma maneira de entender como a função está se comportando naquele ponto específico. Se a inclinação for positiva, a função está aumentando naquele ponto; se for negativa, está diminuindo.

Resposta

Assim, geometricamente, $ f^{\prime}(a) $ representa a inclinação da reta tangente à curva da função $ y = f(x) $ no ponto $ x = a $.

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