Primeira Prova
Seja a função
e
:
Definir
,
Seja a função
Definir
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função $ y = f(x) $ e um ponto $ x = a $ que pertence ao domínio da função $ f $. O objetivo aqui é definir $ f’(a) $, que é a derivada da função $ f $ no ponto $ a $. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada e como ela é calculada usando limites.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Basicamente, ela nos diz o quão rápido a função está mudando naquele ponto específico.
Passo 3
A derivada $ f’(a) $ pode ser definida usando o conceito de limite. A ideia é calcular a taxa de variação média da função $ f $ em torno do ponto $ a $ e ver o que acontece conforme essa variação se torna infinitamente pequena.
Passo 4
Matematicamente, essa definição é expressa como:
Aqui, $ h $ representa uma pequena variação em $ x $, e estamos observando como a função muda quando fazemos essa pequena variação.
Passo 5
Vamos explicar cada parte dessa fórmula:
- $ \lim_{h \to 0} $: Estamos tomando o limite quando $ h $ se aproxima de zero, ou seja, queremos ver o comportamento da função quando a variação $ h $ é muito pequena.
- $ \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $: Essa fração representa a taxa de variação média da função $ f $ entre $ a $ e $ a + h $.
Resposta
Assim, a derivada de $ f $ no ponto $ a $ é definida por: