Encontre os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-100 x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende ao infinito da expressão \;2x^{3}-100x+5.\n
Informações dadas:
  • A função cuja a gente deve analisar é o polinômio \;2x^{3}-100x+5.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
    O que se pede explicitamente: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(2x^{3}-100x+5\right).

Passo 2

Entender uma ideia chave sobre limites de polinômios: para x\to\infty um polinômio é dominado pelo termo de maior grau (o termo “principal”). Ou seja, se
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,
com a_n\neq0, então, quando x\to\infty, o comportamento de p(x) é dado por a_n x^n. Em particular:
  • Se a_n>0 e n é ímpar, então \lim_{x\to\infty}p(x)=+\infty.
  • Se a_n<0 e n é ímpar, então \lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty.
  • Se n é par, o sinal do limite em +\infty depende de a_n (vai para +\infty se a_n>0, e para -\infty se a_n<0).
    Essa ideia vem do fato de que os termos de menor grau tornam-se desprezíveis comparados ao termo de maior grau quando x cresce muito.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso polinômio: o termo de maior grau é \;2x^{3} (grau n=3) e o coeficiente principal é \;a_3=2>0. Uma forma algébrica de ver isso é fatorar x^3:
2x^{3}-100x+5 = x^{3}\!\left(2-\frac{100}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}\right).

Passo 4

Agora analisamos os dois fatores separadamente quando x\to\infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} x^{3} = +\infty porque potências positivas crescem sem limite.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(2-\frac{100}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}\right) = 2, já que \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{100}{x^{2}}=0 e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{3}}=0.

Passo 5

Usando uma propriedade de limites: se \lim_{x\to\infty}A(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty}B(x)=L com L>0, então \lim_{x\to\infty}A(x)B(x)=+\infty. Aqui temos A(x)=x^3 com limite +\infty e B(x)=2-\dfrac{100}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}} com limite 2>0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\left(2x^{3}-100x+5\right)=\lim_{x\to\infty} x^{3}\cdot\left(2-\frac{100}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}\right)=+\infty.

Passo 6

Intuição final e nota prática para prova: para polinômios basta olhar o termo de maior grau. Como aqui é \;2x^{3} com coeficiente positivo e grau ímpar, o polinômio cresce para +\infty quando x\to\infty. Então a resposta é +\infty. Força aí — essa classe de problema é sempre rápida na prova se você identificar o termo líder!

Resposta

+\infty

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