Encontre os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a ser analisada é \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}.
  • Deve-se tomar o limite quando x tende a -\infty.
  • Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Entender o comportamento das exponenciais quando x\to-\infty.
Explicação didática: a função exponencial \,e^{t}\, tende a 0 quando t\to-\infty e tende a +\infty quando t\to+\infty. Aqui aparecem \,e^{x}\, e \,e^{-x}. Quando x\to-\infty temos:
e^{x}\to 0 \qquad\text{e}\qquad e^{-x}=e^{(-x)}\quad\text{com}\quad -x\to+\infty\Rightarrow e^{-x}\to+\infty.
Ou seja, ao ir para -\infty a parte e^{-x} domina (é muito grande) enquanto e^{x} é muito pequena (próxima de zero).

Passo 3

Escolher uma estratégia prática: dividir numerador e denominador por um dos termos exponenciais para tornar explícito o papel dos termos dominantes.
Explicação didática: uma técnica comum para limites com somas de termos que têm ordens de grandeza diferentes é dividir por o termo dominante no infinito, assim todos os termos ficam em funções que tendem a 0 ou a constantes, facilitando a avaliação do limite. Como vimos, quando x\to-\infty o termo dominante é e^{-x} (vai a +\infty). Também é seguro dividir por e^{-x} porque e^{-x}>0 para todo x, então nunca estamos dividindo por zero.

Passo 4

Aplicar a divisão por e^{-x} em numerador e denominador e simplificar algebricamente.
Calculemos:
\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \frac{\dfrac{e^{x}}{e^{-x}}+\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}}{\dfrac{e^{x}}{e^{-x}}-\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}.
Aqui usei a propriedade das potências \dfrac{e^{x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}=e^{2x}. A expressão ficou mais simples porque agora aparece apenas e^{2x}, que sabemos o comportamento quando x\to-\infty.

Passo 5

Determinar o limite da expressão simplificada.
Como x\to-\infty temos 2x\to-\infty, portanto e^{2x}\to 0. Substituindo esse comportamento na expressão:
\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} =\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1.
Explicação didática: usamos a propriedade de limites que permite substituir limites de subexpressões quando não há indeterminação residual além do que já tratamos — aqui, após a simplificação, não restou nenhuma forma indeterminada: e^{2x} tende a 0 de forma clara.

Passo 6

Verificação rápida por outra visão (intuitiva) — sem álgebra extra.
Pensamento intuitivo: para x muito negativo, e^{-x} é muito grande e e^{x} é praticamente zero, então a fração original se parece com
\frac{0 + (\text{muito grande})}{0 - (\text{muito grande})}\approx\frac{M}{-M}=-1,
o que confirma o resultado rigoroso obtido acima.

Resposta

-1

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