Encontre os limites no infinito.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e objetivo:
- A função a ser analisada é
. - Deve-se tomar o limite quando
tende a . - Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
Entender o comportamento das exponenciais quando
.
Explicação didática: a função exponencial
tende a
quando
e tende a
quando
. Aqui aparecem
e
. Quando
temos:
Ou seja, ao ir para
a parte
domina (é muito grande) enquanto
é muito pequena (próxima de zero).
Passo 3
Escolher uma estratégia prática: dividir numerador e denominador por um dos termos exponenciais para tornar explícito o papel dos termos dominantes.
Explicação didática: uma técnica comum para limites com somas de termos que têm ordens de grandeza diferentes é dividir por o termo dominante no infinito, assim todos os termos ficam em funções que tendem a
ou a constantes, facilitando a avaliação do limite. Como vimos, quando
o termo dominante é
(vai a
). Também é seguro dividir por
porque
para todo
, então nunca estamos dividindo por zero.
Passo 4
Aplicar a divisão por
em numerador e denominador e simplificar algebricamente.
Calculemos:
Aqui usei a propriedade das potências
. A expressão ficou mais simples porque agora aparece apenas
, que sabemos o comportamento quando
.
Passo 5
Determinar o limite da expressão simplificada.
Como
temos
, portanto
. Substituindo esse comportamento na expressão:
Explicação didática: usamos a propriedade de limites que permite substituir limites de subexpressões quando não há indeterminação residual além do que já tratamos — aqui, após a simplificação, não restou nenhuma forma indeterminada:
tende a
de forma clara.
Passo 6
Verificação rápida por outra visão (intuitiva) — sem álgebra extra.
Pensamento intuitivo: para
muito negativo,
é muito grande e
é praticamente zero, então a fração original se parece com
o que confirma o resultado rigoroso obtido acima.