Encontre os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a infinito da função \sqrt{x}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função é f(x)=\sqrt{x}.
  • O domínio natural dessa função (considerando raiz principal) é x\ge 0.
  • A pergunta é: qual é o comportamento de f(x) quando x\to\infty? Em particular, o limite é um número finito ou cresce sem limite (vai para infinito)?

Passo 2

Vamos recordar a definição formal do que significa dizer que uma função tende para +\infty quando x\to\infty.
\text{Dizemos que }\lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty \text{ se, para todo } M>0,\\ \exists N\\ \text{tal que, para todo } x>N,\\ f(x)>M.
Ou seja: para qualquer valor grande M que eu escolher, existe um ponto N tal que, para x maiores que N, a função fica maior que M. Essa é a forma precisa de provar que o limite é infinito.

Passo 3

Aplicando essa definição à função f(x)=\sqrt{x}: precisamos, dado um M>0, encontrar um N com a propriedade
\text{se } x>N \text{ então } \sqrt{x}>M.ã
Vamos transformar a desigualdade \sqrt{x}>M em algo mais simples. Como \sqrt{x} e M são não negativas (escolhemos M>0), podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade:
\sqrt{x}>M \quad\Longleftrightarrow\quad x>M^{2}.
Essa equivalência é válida porque a função t\mapsto t^{2} é estritamente crescente em t\ge 0.

Passo 4

Da equivalência anterior segue diretamente uma escolha natural para N. Tomando
N := M^{2},
temos que, para todo x>N (ou seja, x>M^{2}), vale \sqrt{x}>M. Isso satisfaz exatamente a definição de \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}=+\infty.

Passo 5

Portanto, provamos formalmente que para qualquer M>0 existe N=M^{2} tal que, sempre que x>N, \sqrt{x}>M. Logo a função \sqrt{x} cresce sem limite quando x\to\infty.
Uma interpretação intuitiva e uma verificação alternativa curta: fazer a substituição x=t^{2} (com t\ge0). Então \sqrt{x}=t. Quando x\to\infty, temos t=\sqrt{x}\to\infty. Isso mostra de forma direta que \sqrt{x} não se aproxima de um número finito; ela tende a infinito. Também dá para ver por exemplos numéricos: \sqrt{10^{2}}=10, \sqrt{10^{4}}=100, \sqrt{10^{6}}=1000 — conforme x cresce muito, \sqrt{x} também cresce sem limite (embora mais devagar que x).

Passo 6

Resumo prático para a prova: ao pedir \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}, uma prova curta e correta é: dado M>0, escolha N=M^{2}. Se x>N então x>M^{2} e assim \sqrt{x}>M. Portanto \lim_{x\to\infty}\sqrt{x}=+\infty.

Resposta

+\infty

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