Encontre os limites no infinito.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a infinito da função
.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- A função é
. - O domínio natural dessa função (considerando raiz principal) é
. - A pergunta é: qual é o comportamento de
quando ? Em particular, o limite é um número finito ou cresce sem limite (vai para infinito)?
Passo 2
Vamos recordar a definição formal do que significa dizer que uma função tende para
quando
.
Ou seja: para qualquer valor grande
que eu escolher, existe um ponto
tal que, para
maiores que
, a função fica maior que
. Essa é a forma precisa de provar que o limite é infinito.
Passo 3
Aplicando essa definição à função
: precisamos, dado um
, encontrar um
com a propriedade
Vamos transformar a desigualdade
em algo mais simples. Como
e
são não negativas (escolhemos
), podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade:
Essa equivalência é válida porque a função
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Da equivalência anterior segue diretamente uma escolha natural para
. Tomando
temos que, para todo
(ou seja,
), vale
. Isso satisfaz exatamente a definição de
.
Passo 5
Portanto, provamos formalmente que para qualquer
existe
tal que, sempre que
,
. Logo a função
cresce sem limite quando
.
Uma interpretação intuitiva e uma verificação alternativa curta: fazer a substituição
(com
). Então
. Quando
, temos
. Isso mostra de forma direta que
não se aproxima de um número finito; ela tende a infinito. Também dá para ver por exemplos numéricos:
,
,
— conforme
cresce muito,
também cresce sem limite (embora mais devagar que
).
Passo 6
Resumo prático para a prova: ao pedir
, uma prova curta e correta é: dado
, escolha
. Se
então
e assim
. Portanto
.