Encontre os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+2 x-3 x^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da expressão
1 + 2x - 3x^{5}.
Informações dadas:
  • A função em questão é o polinômio f(x)=1+2x-3x^{5}.
  • Queremos \lim_{x\to\infty} f(x).

Passo 2

Ideia principal (explicada devagar): em polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando x\to\infty. Isso significa que, entre monômios x^{n} e x^{m} com m>n,
\frac{x^{n}}{x^{m}}=\frac{1}{x^{m-n}}\to 0\quad\text{quando }x\to\infty.
Logo os termos de grau menor tornam-se negligíveis diante do termo de maior grau.

Passo 3

Identificar o termo dominante no polinômio dado: o maior expoente é 5, portanto o termo dominante é -3x^{5}. É útil reescrever o polinômio fatorando x^{5}:
1+2x-3x^{5}=x^{5}\left(\frac{1}{x^{5}}+\frac{2}{x^{4}}-3\right).

Passo 4

Calcular os limites das partes fatoradas quando x\to\infty:
  • Pela propriedade mencionada, \dfrac{1}{x^{5}}\to 0 quando x\to\infty.
  • Similarmente, \dfrac{2}{x^{4}}\to 0 quando x\to\infty.
    Portanto o parêntese tende a -3:
\frac{1}{x^{5}}+\frac{2}{x^{4}}-3 \to -3 \quad\text{quando }x\to\infty.

Passo 5

Agora combine os resultados: x^{5}\to\infty quando x\to\infty, e o fator que multiplica x^{5} tende a -3. Como x^{5} é positivo para x\to\infty, o produto tende a
\infty \times (-3) = -\infty.
Logo o polinômio cresce em magnitude como x^{5} mas com sinal negativo, indo para menos infinito.

Passo 6

Resumo em palavras: o termo -3x^{5} domina e faz com que a função decresça sem limite quando x cresce, portanto o limite é -\infty.

Resposta

-\infty

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