Encontre os limites:
\lim _{P \rightarrow(1,-1,-1)}\left(\frac{2 x y+y z}{x^{2}+z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{P\rightarrow(1,-1,-1)}\left(\frac{2xy+yz}{x^{2}+z^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A variável P representa o ponto (x,y,z) no espaço tridimensional.
  • O ponto para o qual nos aproximamos é (1,-1,-1).
  • A função a ser analisada é \displaystyle\frac{2xy+yz}{x^{2}+z^{2}}.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y,z) tende a (1,-1,-1)?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): em limites de funções de várias variáveis costuma-se usar o seguinte raciocínio prático na prova:
  • Polinômios (como x^2, xy, yz, etc.) são funções contínuas: seu limite ao aproximar-se de um ponto é igual ao valor no ponto.
  • Somas e produtos de funções contínuas também são contínuas.
  • Uma razão de funções contínuas é contínua em pontos onde o denominador não é zero.
    Portanto, se a expressão é uma razão de polinômios e o denominador no ponto de interesse for diferente de zero, podemos simplesmente substituir as coordenadas do ponto na expressão para obter o limite. Essa é a justificativa conceitual para “fazer substituição” em muitos limites multivariáveis.

Passo 3

Verificação do denominador no ponto dado: calculemos o denominador \,x^{2}+z^{2}\, no ponto (1,-1,-1).
x^{2}+z^{2}\big|_{(1,-1,-1)} = 1^{2}+(-1)^{2}.

Passo 4

Avaliação numérica do denominador:
1^{2}+(-1)^{2} = 1+1 = 2.
Como \,2\neq 0, o denominador não zera no ponto. Pelo raciocínio do passo 2, a função é contínua naquele ponto, então o limite é igual ao valor da função no ponto.

Passo 5

Agora calculemos o numerador \,2xy+yz\, no ponto (1,-1,-1):
2xy+yz\big|_{(1,-1,-1)} = 2\cdot 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1).

Passo 6

Avaliação numérica do numerador:
2\cdot 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = -2 + 1 = -1.
Assim, no ponto temos numerador -1 e denominador 2. O valor do limite é a razão entre esses dois números.

Resposta

-\frac{1}{2}

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