A variável P representa o ponto (x,y,z) no espaço tridimensional.
O ponto para o qual nos aproximamos é (1,-1,-1).
A função a ser analisada é \displaystyle\frac{2xy+yz}{x^{2}+z^{2}}.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y,z) tende a (1,-1,-1)?
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): em limites de funções de várias variáveis costuma-se usar o seguinte raciocínio prático na prova:
Polinômios (como x^2, xy, yz, etc.) são funções contínuas: seu limite ao aproximar-se de um ponto é igual ao valor no ponto.
Somas e produtos de funções contínuas também são contínuas.
Uma razão de funções contínuas é contínua em pontos onde o denominador não é zero.
Portanto, se a expressão é uma razão de polinômios e o denominador no ponto de interesse for diferente de zero, podemos simplesmente substituir as coordenadas do ponto na expressão para obter o limite. Essa é a justificativa conceitual para “fazer substituição” em muitos limites multivariáveis.
Passo 3
Verificação do denominador no ponto dado: calculemos o denominador \,x^{2}+z^{2}\, no ponto (1,-1,-1).
x^{2}+z^{2}\big|_{(1,-1,-1)} = 1^{2}+(-1)^{2}.
Passo 4
Avaliação numérica do denominador:
1^{2}+(-1)^{2} = 1+1 = 2.
Como \,2\neq 0, o denominador não zera no ponto. Pelo raciocínio do passo 2, a função é contínua naquele ponto, então o limite é igual ao valor da função no ponto.
Passo 5
Agora calculemos o numerador \,2xy+yz\, no ponto (1,-1,-1):