Encontre os limites:
\lim _{P \rightarrow(\pi, 0,3)} z e^{-2 y} \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{P\to(\pi,0,3)} z e^{-2y}\cos(2x).
Aqui P é o ponto cujas coordenadas são (x,y,z). O que nos foi dado:
  • a função cuja limite queremos é f(x,y,z)=z e^{-2y}\cos(2x);
  • o ponto ao qual P se aproxima é (\pi,0,3);
  • a pergunta é: qual é o valor do limite quando (x,y,z) tende a (\pi,0,3).

Passo 2

Vamos entender o que significa calcular esse limite, de maneira bem prática. Se uma função é contínua no ponto em que estamos avaliando, o limite quando o ponto se aproxima desse lugar é simplesmente o valor da função nesse ponto. Em palavras: se nada “explode” ou “quebra” ali, podemos substituir as coordenadas direto na expressão.
Vou usar essa ideia porque aqui os fatores são funções conhecidas e contínuas (a função identidade z, a exponencial e o cosseno). Mas primeiro explico rapidamente o conceito usado: uma função g(t) é contínua em t_0 quando
\lim_{t\to t_0} g(t)=g(t_0).
Para funções elementares como exponencial e cosseno isso vale — elas não têm quebras.

Passo 3

Agora examinamos cada parte da expressão e mostramos que seus limites (quando as coordenadas vão para os valores do ponto) existem e são fáceis de calcular.
  1. Para a parte com z: como z é a própria coordenada z,
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} z = 3.
Isto é óbvio porque a coordenada z tende ao valor 3.
  1. Para a exponencial: considere \exp(-2y)=e^{-2y}. A exponencial é contínua, então podemos passar o limite para dentro do expoente:
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} e^{-2y} = e^{\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} (-2y)}.
Mas \lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} (-2y) = -2\cdot 0 = 0. Logo
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} e^{-2y} = e^{0} = 1.
  1. Para o cosseno: \cos(2x) é contínuo, então
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} \cos(2x) = \cos\!\big(\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} 2x\big).
E \lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} 2x = 2\pi. Sabemos que \cos(2\pi)=1. Portanto
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,3)} \cos(2x) = 1.
Cada um desses limites existe e é finito.

Passo 4

Quando temos um produto de funções e os limites de cada uma existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim,
\lim_{P\to(\pi,0,3)} z e^{-2y}\cos(2x) = \Big(\lim_{P\to(\pi,0,3)} z\Big)\cdot \Big(\lim_{P\to(\pi,0,3)} e^{-2y}\Big)\cdot \Big(\lim_{P\to(\pi,0,3)} \cos(2x)\Big).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
= 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3.

Passo 5

Resumo didático rápido para fixar (tipo “receita” para a prova): quando encontrar limites de expressões com produtos/composições de funções elementares (polinômios, exponenciais, trigonométricas, etc.), verifique se cada fator é contínuo no ponto; se for, avalie cada um no ponto e multiplique. Isso economiza tempo e é a forma mais direta em boa parte dos exercícios de prova.

Resposta

3

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