Encontre os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Aqui
é o ponto cujas coordenadas são
. O que nos foi dado:
- a função cuja limite queremos é
; - o ponto ao qual
se aproxima é ; - a pergunta é: qual é o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Vamos entender o que significa calcular esse limite, de maneira bem prática. Se uma função é contínua no ponto em que estamos avaliando, o limite quando o ponto se aproxima desse lugar é simplesmente o valor da função nesse ponto. Em palavras: se nada “explode” ou “quebra” ali, podemos substituir as coordenadas direto na expressão.
Vou usar essa ideia porque aqui os fatores são funções conhecidas e contínuas (a função identidade
, a exponencial e o cosseno). Mas primeiro explico rapidamente o conceito usado: uma função
é contínua em
quando
Para funções elementares como exponencial e cosseno isso vale — elas não têm quebras.
Passo 3
Agora examinamos cada parte da expressão e mostramos que seus limites (quando as coordenadas vão para os valores do ponto) existem e são fáceis de calcular.
- Para a parte com
: como é a própria coordenada ,
Isto é óbvio porque a coordenada
tende ao valor
.
- Para a exponencial: considere
. A exponencial é contínua, então podemos passar o limite para dentro do expoente:
Mas
. Logo
- Para o cosseno:
é contínuo, então
E
. Sabemos que
. Portanto
Cada um desses limites existe e é finito.
Passo 4
Quando temos um produto de funções e os limites de cada uma existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim,
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 5
Resumo didático rápido para fixar (tipo “receita” para a prova): quando encontrar limites de expressões com produtos/composições de funções elementares (polinômios, exponenciais, trigonométricas, etc.), verifique se cada fator é contínuo no ponto; se for, avalie cada um no ponto e multiplique. Isso economiza tempo e é a forma mais direta em boa parte dos exercícios de prova.