(Exercício 2 VIII.1,
Se
é a região interior ao cilindro
entre os planos
e
, use o teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através da superfície
(fronteira de
) orientada com a normal exterior. [
]
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo vetorial
através da superfície
, onde
é a região interior ao cilindro
limitada pelos planos
e
. A orientação é com a normal exterior. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Região de integração
. - Campo vetorial
dado explicitamente. - Queremos o fluxo total através de
(toda a fronteira).
Passo 2
Usamos o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) que diz que o fluxo total de um campo vetorial
através da fronteira
orientada exterior é igual à integral tripla da divergência de
sobre
:
Explicando a ideia: em vez de calcular fluxos superfície por superfície (teto, base, lateral), é muito mais prático calcular a divergência (uma função escalar) e integrar no interior. A divergência mede “quanto o campo está saindo localmente” e a integral soma isso por todo o volume.
Passo 3
Calculo da divergência
. Para
temos
. Aqui:
Derivando cada termo em relação à sua variável:
Logo
Pequena aula prática: sempre verifique termos mistos (como
) — derivam para zero quando derivamos por
, etc. Aqui nenhuma das partes mistas contribui para a divergência porque cada depende de variáveis diferentes.
Passo 4
Escrevemos a integral tripla da divergência sobre
:
Conveniente usar coordenadas cilíndricas porque a projeção no plano
é o disco unitário
. Em coordenadas cilíndricas:
Os limites:
,
, e para cada
temos
(note que
sempre, então é maior que 0). Substituindo:
Reescrevendo o integrando:
Passo 5
Integramos primeiro em
. Para cada
:
Simplificando o segundo termo (o
e
se cancelam):
Para evitar muita expansão desnecessária, vamos separar a integral total como soma de três integrais menores correspondentes a
,
e
:
Calculamos cada um em coordenadas cilíndricas.
Cálculo de
:
Expanda em
:
Integre em
:
Então
Usando
e
, obtemos
Cálculo de
:
Análogo,
Análogo,
que, após integrar em
, fica combinação de integrais de
,
, todas com integral nula em
. Portanto
Cálculo de
:
Expandindo
e multiplicando por
, obtemos integrando em
:
Calcule as integrais em
:
Substituindo:
Usando
e
e
, obtemos
Passo 6
Agora somamos as contribuições e multiplicamos pelo
da divergência:
Compute a soma dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Portanto o fluxo total através de
orientada exterior é
.