(Exercício 2 VIII.1, \operatorname{pg332)} Se D é a região interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1 entre os planos z=0 e z=x+2, use o teorema de Gauss para calcular o fluxo de \vec{v}(x, y, z)=\left(x^{2}+y e^{z}, y^{2}+z e^{x}, z^{2}+x e^{y}\right) através da superfície S, \quad S=\delta D (fronteira de D ) orientada com a normal exterior. [ 5 \pi ]

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial \vec{v}(x,y,z)=\left(x^{2}+y e^{z},\; y^{2}+z e^{x},\; z^{2}+x e^{y}\right) através da superfície S=\partial D, onde D é a região interior ao cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; limitada pelos planos \;z=0\; e \;z=x+2\;. A orientação é com a normal exterior. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Região de integração D=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le x+2\}.
  • Campo vetorial \vec{v} dado explicitamente.
  • Queremos o fluxo total através de \partial D (toda a fronteira).

Passo 2

Usamos o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) que diz que o fluxo total de um campo vetorial \vec{v} através da fronteira \partial D orientada exterior é igual à integral tripla da divergência de \vec{v} sobre D:
\iint_{\partial D}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{D}\nabla\cdot\vec{v}\,dV.
Explicando a ideia: em vez de calcular fluxos superfície por superfície (teto, base, lateral), é muito mais prático calcular a divergência (uma função escalar) e integrar no interior. A divergência mede “quanto o campo está saindo localmente” e a integral soma isso por todo o volume.

Passo 3

Calculo da divergência \nabla\cdot\vec{v}. Para \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) temos \nabla\cdot\vec{v}=\dfrac{\partial v_1}{\partial x}+\dfrac{\partial v_2}{\partial y}+\dfrac{\partial v_3}{\partial z}. Aqui:
v_1=x^{2}+y e^{z},\quad v_2=y^{2}+z e^{x},\quad v_3=z^{2}+x e^{y}.
Derivando cada termo em relação à sua variável:
\frac{\partial v_1}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial v_2}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial v_3}{\partial z}=2z.
Logo
\nabla\cdot\vec{v}=2x+2y+2z=2(x+y+z).
Pequena aula prática: sempre verifique termos mistos (como y e^{z}) — derivam para zero quando derivamos por x, etc. Aqui nenhuma das partes mistas contribui para a divergência porque cada depende de variáveis diferentes.

Passo 4

Escrevemos a integral tripla da divergência sobre D:
\iint_{\partial D}\vec{v}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{D}2(x+y+z)\,dV.
Conveniente usar coordenadas cilíndricas porque a projeção no plano xy é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1. Em coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
Os limites: \theta\in[0,2\pi], r\in[0,1], e para cada (r,\theta) temos z\in[0,\;x+2]=[0,\;r\cos\theta+2] (note que r\cos\theta+2\ge 1 sempre, então é maior que 0). Substituindo:
\iiint_{D}2(x+y+z)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r\cos\theta+2}2\big(r\cos\theta + r\sin\theta + z\big)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Reescrevendo o integrando:
2\big(r\cos\theta + r\sin\theta + z\big)r = 2\big(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z\big).

Passo 5

Integramos primeiro em z. Para cada r,\theta:
\int_{0}^{r\cos\theta+2}2\big(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z\big)\,dz =2\big(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta\big)\big(r\cos\theta+2\big) +2r\cdot\frac{(r\cos\theta+2)^{2}}{2}.
Simplificando o segundo termo (o 2 e \tfrac{1}{2} se cancelam):
=2r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)(r\cos\theta+2)+r(r\cos\theta+2)^{2}.
Para evitar muita expansão desnecessária, vamos separar a integral total como soma de três integrais menores correspondentes a x, y e z:
\iiint_{D}2(x+y+z)\,dV=2\iiint_{D}x\,dV+2\iiint_{D}y\,dV+2\iiint_{D}z\,dV.
Calculamos cada um em coordenadas cilíndricas.
Cálculo de \displaystyle I_x=\iiint_{D}x\,dV:
I_x=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r\cos\theta+2} r\cos\theta \cdot r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cos\theta\,(r\cos\theta+2)\,dr\,d\theta.
Expanda em r:
I_x=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(r^{3}\cos^{2}\theta+2r^{2}\cos\theta\big)\,dr\,d\theta.
Integre em r:
\int_{0}^{1}r^{3}dr=\tfrac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}r^{2}dr=\tfrac{1}{3}.
Então
I_x=\int_{0}^{2\pi}\left(\tfrac{1}{4}\cos^{2}\theta+\tfrac{2}{3}\cos\theta\right)d\theta.
Usando \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi, obtemos
I_x=\tfrac{1}{4}\cdot\pi=\tfrac{\pi}{4}.
Cálculo de \displaystyle I_y=\iiint_{D}y\,dV:
Análogo,
I_y=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin\theta\,(r\cos\theta+2)\,dr\,d\theta,
que, após integrar em r, fica combinação de integrais de \sin\theta, \sin\theta\cos\theta, todas com integral nula em [0,2\pi]. Portanto
I_y=0.
Cálculo de \displaystyle I_z=\iiint_{D}z\,dV:
I_z=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r\cos\theta+2} z\,r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\cdot\frac{(r\cos\theta+2)^{2}}{2}\,dr\,d\theta.
Expandindo (r\cos\theta+2)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+4r\cos\theta+4 e multiplicando por r/2, obtemos integrando em r:
I_z=\int_{0}^{2\pi}\left(\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}r^{3}\cos^{2}\theta\,dr +2\int_{0}^{1}r^{2}\cos\theta\,dr +2\int_{0}^{1}r\,dr\right)d\theta.
Calcule as integrais em r:
\int_{0}^{1}r^{3}dr=\tfrac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}r^{2}dr=\tfrac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}r\,dr=\tfrac{1}{2}.
Substituindo:
I_z=\int_{0}^{2\pi}\left(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}\cos^{2}\theta + 2\cdot\tfrac{1}{3}\cos\theta + 2\cdot\tfrac{1}{2}\right)d\theta =\int_{0}^{2\pi}\left(\tfrac{1}{8}\cos^{2}\theta + \tfrac{2}{3}\cos\theta +1\right)d\theta.
Usando \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta=2\pi, obtemos
I_z=\tfrac{1}{8}\pi + 0 + 2\pi = \tfrac{\pi}{8}+2\pi=\tfrac{17\pi}{8}.

Passo 6

Agora somamos as contribuições e multiplicamos pelo 2 da divergência:
\iiint_{D}2(x+y+z)\,dV=2(I_x+I_y+I_z)=2\!\left(\tfrac{\pi}{4}+0+\tfrac{17\pi}{8}\right).
Compute a soma dentro dos parênteses:
\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{17\pi}{8}=\tfrac{2\pi}{8}+\tfrac{17\pi}{8}=\tfrac{19\pi}{8}.
Multiplicando por 2:
2\cdot\tfrac{19\pi}{8}=\tfrac{19\pi}{4}.
Portanto o fluxo total através de \partial D orientada exterior é \tfrac{19\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{19\pi}{4}

Exercícios relacionados