Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
f(x, y)=3 x^{2}-2 y+4

Passo 1

Enunciado: Determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função f(x,y)=3x^{2}-2y+4.
Informações dadas:
  • A função é dada explicitamente por \,f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\, com fórmula \,f(x,y)=3x^{2}-2y+4.
  • As variáveis independentes são x e y, o valor de saída é um número real (que chamamos de z ou f(x,y)).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Qual é o domínio de f?
  2. Qual é a imagem (conjunto de valores possíveis de f)?
  3. Como esboçar o gráfico da superfície z=f(x,y)?

Passo 2

O que é domínio de uma função de duas variáveis:
  • Domínio é o conjunto de pares (x,y) para os quais a fórmula de f está bem definida.
  • No caso de expressões polinomiais em x e y não há restrição (não aparecem denominadores que possam ser zero, raízes pares de números negativos, logaritmos, etc.). Logo a função está definida para todos os pares reias.
Aplicando ao nosso caso:
  • A fórmula \,3x^{2}-2y+4\, é polinomial em x e y, portanto não impõe restrição.
  • Conclusão intermediária: o domínio é todo o plano de entrada dos pares (x,y).

Passo 3

Resultado do domínio (com explicação curta e clara):
  • Como a função é polinomial, qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser usado.
  • Portanto o domínio é \mathbb{R}^2.
    (Se precisar lembrar na prova: diga “domínio = todos os reais para x e y”)

Passo 4

O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e estratégia para encontrá-la:
  • Imagem é o conjunto de valores reais que f(x,y) assume quando (x,y) varia no domínio.
  • Uma técnica prática: dado um número real qualquer z_0, tentar resolver f(x,y)=z_0 para ver se existe algum (x,y) que produza esse z_0. Se para todo z_0\in\mathbb{R} conseguimos encontrar (x,y), então a imagem é \mathbb{R}.

Passo 5

Aplicando a técnica para mostrar que toda reta real z_0 é atingida:
  • Pegue um z_0\in\mathbb{R} qualquer. Queremos (x,y) tais que
3x^{2}-2y+4 = z_0.
  • É conveniente escolher um valor simples para x que facilite encontrar y. Tome x=0. Substituindo:
3\cdot 0^{2}-2y+4 = z_0 \quad\Rightarrow\quad -2y+4 = z_0.
  • Resolvendo para y:
y = \frac{4 - z_0}{2}.
  • Assim, para qualquer z_0 existe (x,y) = \Bigl(0,\frac{4 - z_0}{2}\Bigr) tal que f(x,y)=z_0.

Passo 6

Conclusão sobre a imagem:
  • Como para todo z_0\in\mathbb{R} encontramos (x,y) que produz z_0, a imagem é todo o conjunto dos números reais.
  • Portanto a imagem é \mathbb{R}.

Passo 7

Como esboçar o gráfico: ideias e conceitos úteis
  • O gráfico da função é a superfície em \mathbb{R}^3 dada por \,z = 3x^{2}-2y+4.
  • Três maneiras de entender a forma da superfície:
    1. Seções por planos horizontais (curvas de nível): para um nível z=k temos
    3x^{2}-2y+4 = k \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{3}{2}x^{2} + \frac{4-k}{2}.Essas são parábolas no plano xy (como y em função de x), abrindo para cima; o parâmetro k apenas desloca verticalmente (em y) a parábola.
    2. Seções por planos y=\text{const} (cortes paralelos ao plano xz): para y=y_0, z = 3x^{2} - 2y_0 + 4,que é uma parábola em x (abertura para cima) no plano xz, cujo vértice está em x=0 e altura z=-2y_0+4.
    3. Seções por planos x=\text{const} (cortes paralelos ao plano yz): para x=x_0, z = -2y + (3x_0^{2}+4),que é uma reta no plano yz com declive -2. Assim, para cada x_0 a intersecção é uma reta (o que mostra que a superfície é formada por linhas no sentido y).

Passo 8

Passo-a-passo prático para desenhar (na prova faça assim, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x, y, z (com z vertical).
  2. Trace a parábola no plano xz para y=0: use
z = 3x^{2}+4.
— Ponto central: (0,0,4). Outros pontos úteis: (1,0,7), (-1,0,7).
3. Trace a parábola no plano xz para y=1: z=3x^{2}+2, que é a mesma parábola deslocada para baixo em 2 unidades (vértice em z=2).
4. Trace para y=-1: z=3x^{2}+6, deslocada para cima em 2.
5. Para alguns valores de x fixos (por exemplo x=0,1) desenhe as retas no plano yz:
  • Para x=0: z=-2y+4 (reta passando por (0,0,4) e por (0,1,2)).
  • Para x=1: z=-2y+7 (reta paralela à anterior, deslocada para cima).
  1. Conecte as curvas suavemente: você verá um “vale” parabólico na direção x e linhas inclinadas na direção y. As parábolas em x mantém a mesma abertura, apenas mudam de altura conforme y.

Passo 9

Alguns pontos numéricos para ajudar no esboço (use estes para marcar no desenho):
  • \,f(0,0)=4 dando o ponto (0,0,4).
  • \,f(1,0)=3\cdot1^{2}-0+4=7 dando (1,0,7).
  • \,f(0,1)=3\cdot0-2\cdot1+4=2 dando (0,1,2).
  • \,f(1,1)=3-2+4=5 dando (1,1,5).
  • \,f(1,-1)=3+2+4=9 dando (1,-1,9).
    Coloque esses pontos e ligue conforme as instruções do passo anterior; isso dá um esboço claro da superfície.

Passo 10

Resumo intuitivo da forma:
  • A superfície é “parabólica” na direção x (seção em xz é parábola) e “linear” na direção y (seção em yz é reta).
  • As curvas de nível z= constante são parábolas em xy com a mesma abertura, deslocadas em y conforme z.
  • Não há máximos ou mínimos globais (a superfície atinge todos os valores reais em z) porque variando y conseguimos deslocar z para mais +\infty ou -\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: superfície z=3x^{2}-2y+4; parábolas em x para cortes y=\text{const} e retas em y para cortes x=\text{const} (vértice em (0,0,4); curvas de nível y=\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{4-k}{2} para z=k).

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