Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
Passo 1
Enunciado: Determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas:
- A função é dada explicitamente por
com fórmula . - As variáveis independentes são
e , o valor de saída é um número real (que chamamos de ou ).
Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é o domínio de
? - Qual é a imagem (conjunto de valores possíveis de
)? - Como esboçar o gráfico da superfície
?
Passo 2
O que é domínio de uma função de duas variáveis:
- Domínio é o conjunto de pares
para os quais a fórmula de está bem definida. - No caso de expressões polinomiais em
e não há restrição (não aparecem denominadores que possam ser zero, raízes pares de números negativos, logaritmos, etc.). Logo a função está definida para todos os pares reias.
Aplicando ao nosso caso:
- A fórmula
é polinomial em e , portanto não impõe restrição. - Conclusão intermediária: o domínio é todo o plano de entrada dos pares
.
Passo 3
Resultado do domínio (com explicação curta e clara):
- Como a função é polinomial, qualquer
pode ser usado. - Portanto o domínio é
.
(Se precisar lembrar na prova: diga “domínio = todos os reais parae ”)
Passo 4
O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e estratégia para encontrá-la:
- Imagem é o conjunto de valores reais que
assume quando varia no domínio. - Uma técnica prática: dado um número real qualquer
, tentar resolver para ver se existe algum que produza esse . Se para todo conseguimos encontrar , então a imagem é .
Passo 5
Aplicando a técnica para mostrar que toda reta real
é atingida:
- Pegue um
qualquer. Queremos tais que
- É conveniente escolher um valor simples para
que facilite encontrar . Tome . Substituindo:
- Resolvendo para
:
- Assim, para qualquer
existe tal que .
Passo 6
Conclusão sobre a imagem:
- Como para todo
encontramos que produz , a imagem é todo o conjunto dos números reais. - Portanto a imagem é
.
Passo 7
Como esboçar o gráfico: ideias e conceitos úteis
- O gráfico da função é a superfície em
dada por . - Três maneiras de entender a forma da superfície:
- Seções por planos horizontais (curvas de nível): para um nível
temos
Essas são parábolas no plano (como em função de ), abrindo para cima; o parâmetro apenas desloca verticalmente (em ) a parábola.
2. Seções por planos(cortes paralelos ao plano ): para , que é uma parábola em (abertura para cima) no plano , cujo vértice está em e altura .
3. Seções por planos(cortes paralelos ao plano ): para , que é uma reta no plano com declive . Assim, para cada a intersecção é uma reta (o que mostra que a superfície é formada por linhas no sentido ). - Seções por planos horizontais (curvas de nível): para um nível
Passo 8
Passo-a-passo prático para desenhar (na prova faça assim, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
, , (com vertical). - Trace a parábola no plano
para : use
— Ponto central:
. Outros pontos úteis:
,
.
3. Trace a parábola no plano para
:
, que é a mesma parábola deslocada para baixo em
unidades (vértice em
).
4. Trace para :
, deslocada para cima em
.
5. Para alguns valores de fixos (por exemplo
) desenhe as retas no plano
:
3. Trace a parábola no plano
4. Trace para
5. Para alguns valores de
- Para
: (reta passando por e por ). - Para
: (reta paralela à anterior, deslocada para cima).
- Conecte as curvas suavemente: você verá um “vale” parabólico na direção
e linhas inclinadas na direção . As parábolas em mantém a mesma abertura, apenas mudam de altura conforme .
Passo 9
Alguns pontos numéricos para ajudar no esboço (use estes para marcar no desenho):
-
dando o ponto . -
dando . -
dando . -
dando . -
dando .
Coloque esses pontos e ligue conforme as instruções do passo anterior; isso dá um esboço claro da superfície.
Passo 10
Resumo intuitivo da forma:
- A superfície é “parabólica” na direção
(seção em é parábola) e “linear” na direção (seção em é reta). - As curvas de nível
constante são parábolas em com a mesma abertura, deslocadas em conforme . - Não há máximos ou mínimos globais (a superfície atinge todos os valores reais em
) porque variando conseguimos deslocar para mais ou .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: superfície ; parábolas em
para cortes
e retas em
para cortes
(vértice em
; curvas de nível
para
).
Imagem:
Gráfico: superfície