Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
não existe. Trata-se de um limite em duas variáveis e vamos usar o critério de que, se o limite existir, deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho de aproximação.

Passo 2

Considere a aproximação ao longo do eixo y=0. Substituindo y=0 na função, fica
\frac{x}{\sqrt{x^2+0}}=\frac{x}{|x|}.
Quando x\to0^+, temos \frac{x}{|x|}\to+1. Quando x\to0^-, temos \frac{x}{|x|}\to-1.

Passo 3

Como pelo mesmo caminho y=0 as aproximações pela direita e pela esquerda levam a valores diferentes ( +1 e -1), o limite não pode ser único. Logo, não existe um único valor para
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Resposta

O limite não existe.

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