1. Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
\section*{ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-1}{x+1} \

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o seguinte limite:
\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{x+1}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser limitada é a função racional \dfrac{x^{2}-1}{x+1}.
  • O ponto de interesse é x=-1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituição direta para ver se já dá um resultado imediato. Substituir x=-1 em cada parte:
\text{numerador}:\;(-1)^{2}-1=1-1=0, \qquad \text{denominador}:\;(-1)+1=0.
Portanto ao substituir diretamente obtemos a forma 0/0, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição direta — preciso manipular a expressão.

Passo 3

Explicando a indeterminação 0/0 de forma simples: quando ao aproximar x do ponto dado tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, pode haver cancelamento de fatores comuns que removem a causa da indeterminação. Duas estratégias comuns:
  • fatorar e simplificar a expressão (método algébrico, geralmente mais rápido e exato aqui);
  • usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e então reavaliar o limite), quando aplicável.
    Vou fazer primeiro a fatoração (mais direta para este caso) e depois mostrar rapidamente a verificação por L’Hôpital.

Passo 4

Fatorar o numerador x^{2}-1. Recordando uma fatoração muito útil (identidade notável):
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=1, então
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo isso na expressão do limite:
\frac{x^{2}-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}.

Passo 5

Agora observar que, para x\neq-1, o fator (x+1) aparece no numerador e no denominador, logo pode ser cancelado. Isso é válido porque ao calcular limite consideramos valores de x próximos de -1 mas diferentes de -1. Após o cancelamento:
\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\qquad\text{(para \(x\neq-1\))}.
Logo a função que interessa ao limite perto de -1 é simplesmente x-1.

Passo 6

Agora fazemos o limite da expressão simplificada. Como x-1 é uma função polinomial contínua, o limite ao aproximar x de -1 é simplesmente o valor substituído:
\lim_{x\to-1}(x-1)=(-1)-1=-2.

Passo 7

Verificação alternativa usando a regra de L’Hôpital (apenas para conferir): como tínhamos a forma indeterminada 0/0, podemos derivar numerador e denominador separadamente e recalcular o limite, desde que as derivadas existam perto de -1.
  • Derivada do numerador x^{2}-1 é 2x.
  • Derivada do denominador x+1 é 1.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{x+1}=\lim_{x\to-1}\frac{2x}{1}=2(-1)=-2.
Resultado coincide com a simplificação algébrica, ótimo — confirma que -2 é o valor correto.

Resposta

-2

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