- Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
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Passo 1
O enunciado pede que se calcule o seguinte limite:
Informações dadas:
- A expressão a ser limitada é a função racional
. - O ponto de interesse é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituição direta para ver se já dá um resultado imediato. Substituir
em cada parte:
Portanto ao substituir diretamente obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição direta — preciso manipular a expressão.
Passo 3
Explicando a indeterminação
de forma simples: quando ao aproximar
do ponto dado tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, pode haver cancelamento de fatores comuns que removem a causa da indeterminação. Duas estratégias comuns:
- fatorar e simplificar a expressão (método algébrico, geralmente mais rápido e exato aqui);
- usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e então reavaliar o limite), quando aplicável.
Vou fazer primeiro a fatoração (mais direta para este caso) e depois mostrar rapidamente a verificação por L’Hôpital.
Passo 4
Fatorar o numerador
. Recordando uma fatoração muito útil (identidade notável):
Aqui
e
, então
Substituindo isso na expressão do limite:
Passo 5
Agora observar que, para
, o fator
aparece no numerador e no denominador, logo pode ser cancelado. Isso é válido porque ao calcular limite consideramos valores de
próximos de
mas diferentes de
. Após o cancelamento:
Logo a função que interessa ao limite perto de
é simplesmente
.
Passo 6
Agora fazemos o limite da expressão simplificada. Como
é uma função polinomial contínua, o limite ao aproximar
de
é simplesmente o valor substituído:
Passo 7
Verificação alternativa usando a regra de L’Hôpital (apenas para conferir): como tínhamos a forma indeterminada
, podemos derivar numerador e denominador separadamente e recalcular o limite, desde que as derivadas existam perto de
.
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Aplicando L’Hôpital:
Resultado coincide com a simplificação algébrica, ótimo — confirma que
é o valor correto.