1. Encontre os valores máximo e mínimo locais de cada função f, em cada intervalo considerado:
$$f(x)=3 x^{2}-12 x+5,[0,3]

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo onde devemos analisar extremos:
  • Função: f(x)=3x^{2}-12x+5.
  • Intervalo considerado: [0,3].
O que a questão pede:
  • Determinar os valores máximos e mínimos locais de f dentro do intervalo [0,3]. Ou seja, localizar pontos no interior ou nas bordas do intervalo onde f atinge extremos locais e apresentar os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): para encontrar extremos locais de uma função diferenciável em um intervalo fechado, há três lugares a checar:
  1. Pontos críticos interiores, onde a derivada f'(x) é zero ou não existe.
  2. Pontos de fronteira do intervalo (aqui x=0 e x=3).
  3. Em cada ponto crítico interior, classificar o tipo de extremo (mínimo ou máximo) usando, por exemplo, a segunda derivada ou o comportamento local da derivada.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x). Derivada de 3x^{2} é 6x e de -12x é -12, a constante some. Logo:
f'(x)=6x-12.
Encontrar os pontos críticos interiores resolvendo f'(x)=0:
6x-12=0.
Isolando x,
6x=12 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Como x=2 pertence ao intervalo [0,3], é um ponto crítico interior que precisamos classificar.

Passo 4

Usar a segunda derivada para classificar o ponto crítico (teste da segunda derivada). Calcular f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}(6x-12)=6.
Observação: f''(x)=6 é positivo (e constante) para todo x. Regra: se f''(x_0)>0 então f tem um mínimo local em x_0; se f''(x_0)<0 tem um máximo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo. Aqui, em x=2, temos f''(2)=6>0, portanto x=2 é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Calcular o valor de f no ponto crítico x=2. Substituir em f(x):
f(2)=3\cdot 2^{2}-12\cdot 2+5.
Calculemos passo a passo:
2^{2}=4,
3\cdot 4=12,
12\cdot 2=24,
então
f(2)=12-24+5=-12+5=-7.
Portanto o mínimo local em x=2 tem valor f(2)=-7.

Passo 6

Agora checar os extremos possíveis nas bordas do intervalo: x=0 e x=3. Para funções em intervalo fechado, extremos globais podem ocorrer também nas bordas; e, segundo definição de extremo local em intervalos, um extremo em uma borda é local se for maior (ou menor) que os valores em pontos próximos dentro do intervalo (teste de vizinhança unidirecional).
Calcular f(0) e f(3).

Passo 7

Calcular f(0):
f(0)=3\cdot 0^{2}-12\cdot 0+5=5.
Calcular f(3):
f(3)=3\cdot 3^{2}-12\cdot 3+5.
Passo a passo:
3^{2}=9,
3\cdot 9=27,
12\cdot 3=36,
então
f(3)=27-36+5=-9+5=-4.

Passo 8

Interpretar os valores para decidir máximos e mínimos locais:
  • Em x=2 temos mínimo local com f(2)=-7 (já justificado pelo teste da segunda derivada).
  • Comparando as bordas: f(0)=5, f(3)=-4, e o valor no mínimo interior é f(2)=-7. Assim f(0) é o maior dos três valores e f(3) é intermediário.
  • Verificação de extremo local em borda x=0: como x=0 é extremidade esquerda do domínio [0,3], basta checar valores para x ligeiramente maiores que 0. Por exemplo, f(0.1)<5 (pode-se verificar), e de forma geral a função cresce ao se afastar para a direita desde x=0 até o vértice em x=2 somente depois começar a subir de novo; portanto x=0 é um máximo local (na borda) porque há uma vizinhança à direita onde f(x)\le f(0).
  • Em x=3 não há máximo local nem mínimo local estrito: f(3)=-4 é maior que f(2)=-7 mas menor que f(0)=5; e olhando à esquerda (única vizinhança disponível na borda direita), há pontos com valores maiores e menores dependendo, portanto x=3 não é extremo local (é apenas um ponto de teste que não é nem máximo local nem mínimo local).

Passo 9

Resumo final dos extremos locais encontrados (preparando a resposta final):
  • Mínimo local em x=2 com f(2)=-7.
  • Máximo local (na borda esquerda do intervalo) em x=0 com f(0)=5.
  • Nenhum outro máximo local interior; x=3 não é extremo local.

Resposta

Máximo local: x=0,\\ f(0)=5
Mínimo local: x=2,\\ f(2)=-7

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