- Encontre os valores máximo e mínimo locais de cada função
, em cada intervalo considerado:
$$f(x)=3 x^{2}-12 x+5,[0,3]
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo onde devemos analisar extremos:
- Função:
. - Intervalo considerado:
.
O que a questão pede:
- Determinar os valores máximos e mínimos locais de
dentro do intervalo . Ou seja, localizar pontos no interior ou nas bordas do intervalo onde atinge extremos locais e apresentar os valores de nesses pontos.
Passo 2
Conceito importante (rápido e prático): para encontrar extremos locais de uma função diferenciável em um intervalo fechado, há três lugares a checar:
- Pontos críticos interiores, onde a derivada
é zero ou não existe. - Pontos de fronteira do intervalo (aqui
e ). - Em cada ponto crítico interior, classificar o tipo de extremo (mínimo ou máximo) usando, por exemplo, a segunda derivada ou o comportamento local da derivada.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a derivada
. Derivada de
é
e de
é
, a constante some. Logo:
Encontrar os pontos críticos interiores resolvendo
:
Isolando
,
Como
pertence ao intervalo
, é um ponto crítico interior que precisamos classificar.
Passo 4
Usar a segunda derivada para classificar o ponto crítico (teste da segunda derivada). Calcular
:
Observação:
é positivo (e constante) para todo
. Regra: se
então
tem um mínimo local em
; se
tem um máximo local; se
o teste é inconclusivo. Aqui, em
, temos
, portanto
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Calcular o valor de
no ponto crítico
. Substituir em
:
Calculemos passo a passo:
então
Portanto o mínimo local em
tem valor
.
Passo 6
Agora checar os extremos possíveis nas bordas do intervalo:
e
. Para funções em intervalo fechado, extremos globais podem ocorrer também nas bordas; e, segundo definição de extremo local em intervalos, um extremo em uma borda é local se for maior (ou menor) que os valores em pontos próximos dentro do intervalo (teste de vizinhança unidirecional).
Calcular
e
.
Passo 7
Calcular
:
Calcular
:
Passo a passo:
então
Passo 8
Interpretar os valores para decidir máximos e mínimos locais:
- Em
temos mínimo local com (já justificado pelo teste da segunda derivada). - Comparando as bordas:
, , e o valor no mínimo interior é . Assim é o maior dos três valores e é intermediário. - Verificação de extremo local em borda
: como é extremidade esquerda do domínio , basta checar valores para ligeiramente maiores que . Por exemplo, (pode-se verificar), e de forma geral a função cresce ao se afastar para a direita desde até o vértice em somente depois começar a subir de novo; portanto é um máximo local (na borda) porque há uma vizinhança à direita onde . - Em
não há máximo local nem mínimo local estrito: é maior que mas menor que ; e olhando à esquerda (única vizinhança disponível na borda direita), há pontos com valores maiores e menores dependendo, portanto não é extremo local (é apenas um ponto de teste que não é nem máximo local nem mínimo local).
Passo 9
Resumo final dos extremos locais encontrados (preparando a resposta final):
- Mínimo local em
com . - Máximo local (na borda esquerda do intervalo) em
com . - Nenhum outro máximo local interior;
não é extremo local.
Resposta
Máximo local:
Mínimo local:
Mínimo local: