Encontre os limites a seguir.
lim z i[4 z^2+cos (z-i)+z Arg(barz)].

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite de uma função complexa quando z tende a i. Estamos na matéria de limites em variável complexa e vamos usar a continuidade de funções elementares (polinômios, cosseno) e também a noção de continuidade da função argumento (Arg) em torno de pontos que não estejam em corte de ramo.

Passo 2

Vamos tratar o primeiro termo 4z². Como polinômios são contínuos em toda parte, temos
limzto i4z^2=4,(i)^2=4,(-1)=-4

Passo 3

Agora o segundo termo cos(z−i). A função cosseno é inteira (ou seja, contínua em todo C), logo podemos simplesmente substituir:
limzto icos(z-i)=cosl(i-ir)=cos0=1

Passo 4

Para o terceiro termo z·Arg(\bar z)), primeiro lembramos que é contínuo em torno de Arg perto de bar z, desde que não percorramos o corte de ramo. Perto de bar i=-i temos z=i, e o argumento principal de bar zto -i é -i. Portanto
-pi/2
e como limzto iArg(bar z)=-pi2,,
zto i

Passo 5

Somando os três resultados pelo princípio de soma de limites, obtemos o valor final do limite.

Resposta

-3 - \frac{i\pi}{2}

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