Encontre os limites a seguir.
.
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite de uma função complexa quando z tende a i. Estamos na matéria de limites em variável complexa e vamos usar a continuidade de funções elementares (polinômios, cosseno) e também a noção de continuidade da função argumento (Arg) em torno de pontos que não estejam em corte de ramo.
Passo 2
Vamos tratar o primeiro termo 4z². Como polinômios são contínuos em toda parte, temos
Passo 3
Agora o segundo termo cos(z−i). A função cosseno é inteira (ou seja, contínua em todo
), logo podemos simplesmente substituir:
Passo 4
Para o terceiro termo z·Arg(\bar z)), primeiro lembramos que é contínuo em torno de
perto de
, desde que não percorramos o corte de ramo. Perto de
temos
, e o argumento principal de
é
. Portanto
e como
Passo 5
Somando os três resultados pelo princípio de soma de limites, obtemos o valor final do limite.
Resposta
-3 - \frac{i\pi}{2}