Encontre a magnetização de saturação de uma amostra de ferro e determine o campo magnético que ela produz em seu interior profundo. Assuma que cada átomo de ferro possui um momento magnético igual a 1 magneton de Bohr. (Dados: \varrho=7,87 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; M=55,8 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}^{3} ; N_{A}=6,02 \times 10^{23} átomos / \mathrm{mol} ).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
  • Pedidos:
    1. Encontrar a magnetização de saturação da amostra de ferro.
    2. Determinar o campo magnético que essa magnetização produz em seu interior profundo.
  • Dados fornecidos:
    • densidade da matéria: \varrho=7,87\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • massa molar do ferro: M=55,8\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
    • número de Avogadro: N_{A}=6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
    • momento magnético por átomo (assumido): \mu_{\text{átomo}} = 1\\ \mu_{B}á (um magneton de Bohr).
  • Observação importante sobre unidades que vou usar:
    • O magneton de Bohr vale \mu_{B}=9,274\times10^{-24}\\ \mathrm{A\,m^{2}} (unidade SI de momento magnético).
    • Magnetização \,M (letra M em magnetismo) será dada em \mathrm{A/m}.
    • Constante magnética do vácuo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e prática):
  • Magnetização de uma amostra é a soma dos momentos magnéticos por unidade de volume. Se cada átomo tem momento \mu e a densidade de átomos (número por volume) é n, então
M_{\text{sat}} = n\,\mu.
Aqui M_{\text{sat}} é a magnetização de saturação (A/m), n é em \mathrm{átomos/m^{3}}á e \mu em \mathrm{A\,m^{2}}.
  • Como não nos deram n diretamente, vamos calculá-lo a partir da densidade de massa \varrho e da massa molar M. A concentração de mols por volume é \varrho / M (mol/m^3); multiplicando por N_A dá o número de átomos por volume:
n = \frac{\varrho}{M}\,N_{A}.
Agora calculamos n usando os números do enunciado (faço as contas passo a passo, sem pular etapas).

Passo 3

Cálculo do número de átomos por volume n:
n = \frac{\varrho}{M}\,N_{A} = \frac{7,87\times10^{3}}{55,8\times10^{-3}}\times 6,02\times10^{23}.
Primeiro a divisão \dfrac{7,87\times10^{3}}{55,8\times10^{-3}}:
\frac{7,87\times10^{3}}{55,8\times10^{-3}} = \frac{7,87\times10^{3}}{0,0558} \approx 1,41\times10^{5}\\ (\text{mol/m}^{3}).
Agora multiplicando por N_{A}:
n \approx 1,41\times10^{5}\times 6,02\times10^{23} = 8,49\times10^{28}\\ \mathrm{átomos/m^{3}}.á
Portanto
n \approx 8,49\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Cálculo da magnetização de saturação M_{\text{sat}}:
Usando \mu=\mu_{B}=9,274\times10^{-24}\\ \mathrm{A\,m^{2}} e n calculado,
M_{\text{sat}} = n\,\mu_{B} = 8,49\times10^{28}\times 9,274\times10^{-24}.
Multiplicando:
M_{\text{sat}} \approx 7,87\times10^{5}\\ \mathrm{A/m}.
Explicação física curta: esse número representa a soma vetorial dos pequenos momentos magnéticos por metro cúbico quando todos os spins/átomos estão alinhados (saturação).

Passo 5

Determinar o campo magnético no interior profundo da amostra (aula curta sobre B, H e efeito de demagnetização):
  • Relação geral em SI entre indução magnética \mathbf{B}, intensidade de campo \mathbf{H} e magnetização \mathbf{M}:
\mathbf{B} = \mu_{0}\,(\mathbf{H}+\mathbf{M}).
  • Em uma amostra finita, a própria magnetização gera um campo de demagnetização \mathbf{H}_{\text{demag}}=-N\,\mathbf{M}, onde N é o fator demagnetizante que depende da forma geométrica (por exemplo, N=1/3 para esfera). Portanto \mathbf{H}=\mathbf{H}_{\text{externo}}+\mathbf{H}_{\text{demag}}.
  • Quando o problema pede o campo “em seu interior profundo”, a interpretação padrão física é: pontos muito afastados das superfícies, num corpo macroscópico grande — essa região pode ser aproximada como um meio infinito, onde o efeito de borda (demagnetização) é desprezível. Nessa aproximação de meio infinito homogêneo, o campo de intensidade \mathbf{H} associado à magnetização por auto-demagnetização tende a zero (ou seja, \mathbf{H}\approx 0 se não houver campo externo).
  • Assim, para o interior profundo e sem campo externo, toma-se
\mathbf{H}_{\text{int}}\approx 0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{B}_{\text{int}}\approx\mu_{0}\,\mathbf{M}.
Agora calculo numericamente \,B_{\text{int}}=\mu_{0}M_{\text{sat}}:
B_{\text{int}} = \mu_{0}M_{\text{sat}} = 4\pi\times10^{-7}\times 7,87\times10^{5}.
Fazendo a conta:
B_{\text{int}} \approx 0,99\\ \mathrm{T}.
Também fica útil anotar (para entender o que acontece fisicamente): nessa aproximação H_{\text{int}}\approx 0. Se a amostra tivesse forma de esfera, por exemplo, H_{\text{int}}=-\tfrac{1}{3}M e B_{\text{int}}=\mu_{0}(1-\tfrac{1}{3})M=\tfrac{2}{3}\mu_{0}M; escolhi a aproximação de meio infinito (H≈0) porque o enunciado pede “interior profundo”.

Passo 6

Resumo didático-final e observações rápidas (para você lembrar na prova):
  • Para calcular magnetização de saturação: conte quantos átomos por volume ( n), multiplique pelo momento por átomo ( \mu).
  • Preste atenção às unidades: \mu em \mathrm{A\,m^{2}}, n em \mathrm{m^{-3}} M em \mathrm{A/m}.
  • Para o campo magnético criado pela magnetização no interior: use \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\mathbf{M}). Se o enunciado diz “interior profundo” e não dá forma nem campo externo, é razoável assumir \mathbf{H}\approx 0 e usar \mathbf{B}\approx\mu_{0}\mathbf{M}.
  • Observação física importante: o valor real para o ferro costuma ser maior porque o momento por átomo em ferro é maior que 1\,\mu_{B} (na prática ~ 2,2\,\mu_{B}), então o valor numérico que obtivemos é um limite inferior consistente com a hipótese do enunciado.

Resposta

M_{\text{sat}} \approx 7,87\times10^{5}\\ \mathrm{A/m}
B_{\text{int}} \approx 0,99\\ \mathrm{T}

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