Tobias desamarra uma das extremidades da corda de um varal, mantém a corda esticada e faz esta extremidade oscilar para cima e para baixo senoidalmente com amplitude 0,075 \mathrm{~m} e frequência de 2,0 \mathrm{~Hz}. Tobias aplica na corda uma tensão F=36 N. A densidade linear da corda é \mu=0,250 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}. No instante t=0, a extremidade possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade afastada de modo a não perturbar a configuração.
(a) Encontre a velocidade v da onda, a amplitude A, a frequência angular \omega, o período T, o comprimento de onda \lambda e o número de onda k.
(b) Escreva a função de onda.
(c) Escreva o deslocamento em função do tempo, na extremidade x=0 e em um ponto x=3,0 m
(d) Qual a taxa de transferência de energia máxima que Tobias fornece à corda?
(e) Equal é a potência média?
(f) Qual é a potência média quando a amplitude dimiui para 7,50 \mathrm{~mm} ?
Passo 1
O enunciado nos diz claramente o seguinte (vou listar ponto a ponto para organizar):
A extremidade de uma corda oscila verticalmente de forma senoidal com amplitude 0,075\\ \mathrm{m} e frequência 2{,}0\\ \mathrm{Hz}.
A tensão na corda é F=36\\ \mathrm{N}.
A densidade linear da corda é \mu=0{,}250\\ \mathrm{kg/m}.
No instante t=0 a extremidade está no deslocamento máximo positivo e em repouso.
Não há reflexão na extremidade oposta (onda viaja sem voltar).
O que o enunciado pede:
(a) determinar a velocidade da onda v, a amplitude A, a frequência angular \omega, o período T, o comprimento de onda \lambda e o número de onda k.
(b) escrever a função de onda y(x,t).
(c) escrever o deslocamento em função do tempo em x=0 e em x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
(d) determinar a taxa máxima de transferência de energia (potência máxima) que Tobias fornece à corda.
(e) determinar a potência média.
(f) calcular a potência média quando a amplitude diminui para 7{,}50\\ \mathrm{mm}.
Dados que vou usar (retirados do enunciado): \;A=0{,}075\\ \mathrm{m},\; f=2{,}0\\ \mathrm{Hz},\; F=36\\ \mathrm{N},\; \mu=0{,}250\\ \mathrm{kg/m}.
Passo 2
Velocidade de propagação da onda na corda: explicando a fórmula e o que cada símbolo significa.
Para uma corda tensa, a velocidade de uma onda transversal é dada por
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}},
onde \;F é a tensão (força) na corda e \mu é a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). A ideia física: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto mais pesada a corda, mais lenta a onda.
Para y(0,t)=A\cos(-\omega t+\varphi)=A\cos(\varphi-\omega t). Para t=0 ter y(0,0)=A precisamos de \cos\varphi=1\Rightarrow \varphi=0 (ou múltiplos de 2\pi). Com \varphi=0 a derivada em t=0 também é zero (pois \sin 0=0), então \varphi=0 satisfaz ambas as condições. Portanto podemos escolher
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t).
Passo 6
Escrever explicitamente a função de onda com os valores numéricos já achados:
Substituindo A,\;k,\;\omega obtemos
y(x,t)=0{,}075\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}x-4\pi t\bigr)\\ \text{(com \(x\) em metros e \(t\) em segundos).}
Observação: usei que \omega=4\pi e k=\pi/3.
Passo 7
Deslocamento em x=0 e em x=3{,}0\\ \mathrm{m}:
Em x=0:
y(0,t)=0{,}075\cos(-4\pi t)=0{,}075\cos(4\pi t).
(Lembre que \cos é função par: \cos(-\theta)=\cos\theta.)
Em x=3{,}0\\ \mathrm{m}:
Primeiro calcule o argumento espacial: k x = \tfrac{\pi}{3}\cdot 3{,}0=\pi.
Portanto
y(3{,}0,t)=0{,}075\cos\!\bigl(\pi-4\pi t\bigr).
Podemos usar a identidade \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta se quiser escrever de forma alternativa:
y(3{,}0,t)=-0{,}075\cos(4\pi t).
Passo 8
Derivar a expressão para a potência instantânea e a potência máxima — aula rápida:
A potência instantânea que atravessa uma seção da corda (energia por unidade de tempo) pode ser expressa por
onde F é a tensão. Essa fórmula vem da taxa de trabalho feita pela força de tração quando a porção da corda se deforma (não é obrigatório memorizar, mas é útil saber a relação).