Tobias desamarra uma das extremidades da corda de um varal, mantém a corda esticada e faz esta extremidade oscilar para cima e para baixo senoidalmente com amplitude 0,075 \mathrm{~m} e frequência de 2,0 \mathrm{~Hz}. Tobias aplica na corda uma tensão F=36 N. A densidade linear da corda é \mu=0,250 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}. No instante t=0, a extremidade possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade afastada de modo a não perturbar a configuração.
(a) Encontre a velocidade v da onda, a amplitude A, a frequência angular \omega, o período T, o comprimento de onda \lambda e o número de onda k.
(b) Escreva a função de onda.
(c) Escreva o deslocamento em função do tempo, na extremidade x=0 e em um ponto x=3,0 m
(d) Qual a taxa de transferência de energia máxima que Tobias fornece à corda?
(e) Equal é a potência média?
(f) Qual é a potência média quando a amplitude dimiui para 7,50 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

O enunciado nos diz claramente o seguinte (vou listar ponto a ponto para organizar):
  • A extremidade de uma corda oscila verticalmente de forma senoidal com amplitude 0,075\\ \mathrm{m} e frequência 2{,}0\\ \mathrm{Hz}.
  • A tensão na corda é F=36\\ \mathrm{N}.
  • A densidade linear da corda é \mu=0{,}250\\ \mathrm{kg/m}.
  • No instante t=0 a extremidade está no deslocamento máximo positivo e em repouso.
  • Não há reflexão na extremidade oposta (onda viaja sem voltar).
O que o enunciado pede:
(a) determinar a velocidade da onda v, a amplitude A, a frequência angular \omega, o período T, o comprimento de onda \lambda e o número de onda k.
(b) escrever a função de onda y(x,t).
(c) escrever o deslocamento em função do tempo em x=0 e em x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
(d) determinar a taxa máxima de transferência de energia (potência máxima) que Tobias fornece à corda.
(e) determinar a potência média.
(f) calcular a potência média quando a amplitude diminui para 7{,}50\\ \mathrm{mm}.
Dados que vou usar (retirados do enunciado): \;A=0{,}075\\ \mathrm{m},\; f=2{,}0\\ \mathrm{Hz},\; F=36\\ \mathrm{N},\; \mu=0{,}250\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 2

Velocidade de propagação da onda na corda: explicando a fórmula e o que cada símbolo significa.
  • Para uma corda tensa, a velocidade de uma onda transversal é dada por
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}},
onde \;F é a tensão (força) na corda e \mu é a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). A ideia física: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto mais pesada a corda, mais lenta a onda.
Agora aplicando os números:
v=\sqrt{\frac{36}{0{,}250}}=\sqrt{144}=12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Amplitude, frequência angular e período — definições e cálculo:
  • A amplitude é o deslocamento máximo vertical da extremidade. O enunciado já deu \;A=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • A frequência f é dada: \;f=2{,}0\\ \mathrm{Hz}. O período T é o tempo para uma oscilação completa:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2{,}0}=0{,}50\\ \mathrm{s}.
  • A frequência angular \omega relaciona-se com f por
\omega=2\pi f,
onde \omega tem unidades de rad/s. Substituindo:
\omega=2\pi\cdot 2{,}0=4\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Comprimento de onda e número de onda — definições e cálculo:
  • Velocidade, frequência e comprimento de onda estão relacionados por
v=\lambda f,
onde \lambda é o comprimento de onda. Assim
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{12}{2{,}0}=6{,}0\\ \mathrm{m}.
  • O número de onda k é definido por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo:
k=\frac{2\pi}{6{,}0}=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx 1{,}047\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Escolha da forma da função de onda e justificação pelo condicionamento inicial:
  • Uma onda transversal viajando na direção positiva x com perfil harmônico pode ser escrita como
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi),
onde \varphi é a fase inicial. Aqui:
  • y(x,t) é o deslocamento transverse em posição x e tempo t.
  • A é a amplitude.
  • k é o número de onda.
  • \omega é a frequência angular.
  • A forma kx-\omega t descreve uma onda que se desloca no sentido positivo de x com velocidade v=\omega/k.
Condição inicial no enunciado: em t=0 a extremidade ( x=0) tem deslocamento máximo positivo e está em repouso. Isso significa:
y(0,0)=A\quad\text{(valor máximo positivo)}á
e
\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=0,t=0}=0.
Para y(0,t)=A\cos(-\omega t+\varphi)=A\cos(\varphi-\omega t). Para t=0 ter y(0,0)=A precisamos de \cos\varphi=1\Rightarrow \varphi=0 (ou múltiplos de 2\pi). Com \varphi=0 a derivada em t=0 também é zero (pois \sin 0=0), então \varphi=0 satisfaz ambas as condições. Portanto podemos escolher
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t).

Passo 6

Escrever explicitamente a função de onda com os valores numéricos já achados:
Substituindo A,\;k,\;\omega obtemos
y(x,t)=0{,}075\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}x-4\pi t\bigr)\\ \text{(com \(x\) em metros e \(t\) em segundos).}
Observação: usei que \omega=4\pi e k=\pi/3.

Passo 7

Deslocamento em x=0 e em x=3{,}0\\ \mathrm{m}:
  • Em x=0:
y(0,t)=0{,}075\cos(-4\pi t)=0{,}075\cos(4\pi t).
(Lembre que \cos é função par: \cos(-\theta)=\cos\theta.)
  • Em x=3{,}0\\ \mathrm{m}:
    Primeiro calcule o argumento espacial: k x = \tfrac{\pi}{3}\cdot 3{,}0=\pi.
    Portanto
y(3{,}0,t)=0{,}075\cos\!\bigl(\pi-4\pi t\bigr).
Podemos usar a identidade \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta se quiser escrever de forma alternativa:
y(3{,}0,t)=-0{,}075\cos(4\pi t).

Passo 8

Derivar a expressão para a potência instantânea e a potência máxima — aula rápida:
  • A potência instantânea que atravessa uma seção da corda (energia por unidade de tempo) pode ser expressa por
P(x,t)=-F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t},
onde F é a tensão. Essa fórmula vem da taxa de trabalho feita pela força de tração quando a porção da corda se deforma (não é obrigatório memorizar, mas é útil saber a relação).
  • Para y(x,t)=A\cos(kx-\omega t) temos:
\frac{\partial y}{\partial x}=-Ak\sin(kx-\omega t), \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=A\omega\sin(kx-\omega t).
Multiplicando:
\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}=-A^2k\omega\sin^2(kx-\omega t).
Então
P(x,t)=-F\left(-A^2k\omega\sin^2(kx-\omega t)\right)=F A^2 k\omega\sin^2(kx-\omega t).
  • A potência instantânea varia no tempo com \sin^2. O máximo ocorre quando \sin^2=1. Assim a potência máxima é
P_{\max}=F A^2 k\omega.
É útil reescrever usando F=\mu v^2 e k=\omega/v para checar consistência:
P_{\max}= (\mu v^2) A^2 \left(\frac{\omega}{v}\right)\omega=\mu v A^2 \omega^2.
E a potência média no tempo (média de \sin^2 que é 1/2) é
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu v A^2\omega^2.

Passo 9

Calcular numericamente P_{\max} e \overline{P} com A=0{,}075\\ \mathrm{m}:
  • Primeiro reúno os números:
    • \mu v=\;0{,}250\cdot 12=3{,}00\\ \mathrm{(kg/s)}.
    • A^2=(0{,}075)^2=0{,}005625\\ \mathrm{m^2}.
    • \omega^2=(4\pi)^2=16\pi^2\approx 157{,}914\\ \mathrm{(rad^2/s^2)}.
  • Usando P_{\max}=\mu v A^2 \omega^2:
P_{\max}=3{,}00\cdot 0{,}005625\cdot 157{,}9137\approx 2{,}665\\ \mathrm{W}.
(Detalhe do cálculo: 0{,}005625\cdot 157{,}9137\approx 0{,}888265; multiplicando por 3 \approx 2{,}6648.)
  • A potência média é metade disso:
\overline{P}=\frac{P_{\max}}{2}\approx 1{,}332\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Potência média quando a amplitude cai para 7{,}50\\ \mathrm{mm}=0{,}00750\\ \mathrm{m}:
  • A potência média escala com A^2. Se a nova amplitude é A' =0{,}00750\\ \mathrm{m}, nota-se que A'/A=0{,}00750/0{,}075=0{,}10. Então (A'/A)^2=0{,}01.
  • Portanto a nova potência média é
\overline{P}'=\overline{P}\cdot 0{,}01\approx 1{,}332\cdot 0{,}01\approx 0{,}01332\\ \mathrm{W}.
(ou diretamente pela fórmula substituindo A'=0{,}00750.)

Resposta

(a) v=12\\ \mathrm{m/s}; A=0{,}075\\ \mathrm{m}; \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}; T=0{,}50\\ \mathrm{s}; \lambda=6{,}0\\ \mathrm{m}; k=\tfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx 1{,}047\\ \mathrm{rad/m}.
(b) \displaystyle y(x,t)=0{,}075\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}x-4\pi t\bigr)\\ \mathrm{m}.
(c) \displaystyle y(0,t)=0{,}075\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}.
\displaystyle y(3{,}0,t)=0{,}075\cos(\pi-4\pi t)=-0{,}075\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}.
(d) P_{\max}\approx 2{,}665\\ \mathrm{W}.
(e) \overline{P}\approx 1{,}332\\ \mathrm{W}.
(f) Com A=7{,}50\\ \mathrm{mm}=0{,}00750\\ \mathrm{m}, \overline{P}\approx 0{,}01332\\ \mathrm{W}.

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