Encontre a magnitude e a direção de
\overrightarrow{\mathrm{e}}(z ; t)=10 \sin (\omega t-\beta z) \overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}-15 \sin (\omega t-\beta z) \overrightarrow{\mathrm{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}}em t=0, z_{4}=\underline{3 \lambda}.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a magnitude e a direção do campo elétrico \overrightarrow{\mathrm{e}}(z;t) no instante t=0 e na posição z_{4}=3\lambda.
Informações dadas pelo enunciado:
\overrightarrow{\mathrm{e}}(z;t)=10\sin(\omega t-\beta z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_x}-15\sin(\omega t-\beta z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_y}\\ \mathrm{V/m}
  • queremos avaliar em t=0 e z=3\lambda;
  • aparece o parâmetro \beta (número de onda) e \lambda (comprimento de onda).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a fase \varphi=\omega t-\beta z no ponto solicitado. Substituindo t=0 e z=3\lambda obtemos
\varphi=\omega\cdot 0-\beta(3\lambda)=-3\beta\lambda.
Agora recorde a relação padrão entre número de onda e comprimento de onda: \beta é dado por
\beta=\frac{2\pi}{\lambda},
pois \beta mede quantos radianos de fase cabem em um comprimento \lambda. Substituindo isso em \varphi temos
\varphi=-3\beta\lambda=-3\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)\lambda=-3\cdot 2\pi=-6\pi.

Passo 3

Calcule o seno dessa fase. Usando periodicidade do seno (período 2\pi) e que \sin(n\pi)=0 para qualquer inteiro n, temos
\sin(\varphi)=\sin(-6\pi)=0.

Passo 4

Agora substituímos esse valor na expressão do campo. Como o fator \sin(\omega t-\beta z) vale zero, os componentes ficam:
E_x=10\sin(\varphi)=10\cdot 0=0,
E_y=-15\sin(\varphi)=-15\cdot 0=0.
Logo o campo instantâneo é o vetor nulo:
\overrightarrow{\mathrm{e}}(3\lambda;0)=\mathbf{0}.

Passo 5

Magnitude do vetor: a magnitude (norma) de um vetor \overrightarrow{E}=(E_x,E_y) é dada por
|\overrightarrow{E}|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}.
Aqui E_x=0 e E_y=0, então
|\overrightarrow{\mathrm{e}}(3\lambda;0)|=\sqrt{0^2+0^2}=0\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Direção do vetor: o vetor nulo não possui direção bem definida — dizemos que a direção é indefinida porque não há um sentido (nem positivo nem negativo) associado ao vetor zero. Portanto, no instante e posição dados, a direção do campo elétrico é indefinida (campo nulo).
Passo extra (intuição útil para a prova): se quisesse a direção da polarização (direção do vetor de amplitude/phaser), consideraríamos o vetor de amplitude
\overrightarrow{E_0}=10\,\overrightarrow{\mathrm{a}_x}-15\,\overrightarrow{\mathrm{a}_y}.
A sua magnitude é
|\overrightarrow{E_0}|=\sqrt{10^2+(-15)^2}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\\ \mathrm{V/m},
e a direção (ângulo \theta medido desde +\overrightarrow{\mathrm{a}_x} no sentido anti-horário) satisfaz
\tan\theta=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}=\frac{-15}{10}=-\tfrac{3}{2},
ou seja \theta=\arctan(-\tfrac{3}{2})\approx -56{,}31^\circ (ou 303{,}69^\circ). Isso descreve a polarização da onda, mas atenção: instantaneamente em t=0, z=3\lambda o campo é zero e portanto não tem direção.

Resposta

Magnitude: 0\\ \mathrm{V/m}
Direção: indefinida (vetor nulo)

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