Encontre o maior domínio onde as funções são holomorfas, diga quais são inteiras e calcule a derivada (z=x+y i) :
f(z)=e^-x( cos y-i sen y).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o maior domínio em que a função é holomorfa, verificar se ela é inteira e calcular sua derivada. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade complexa (equações de Cauchy-Riemann) e propriedades da exponencial complexa.

Passo 2

Escrevemos f em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y):
u(x,y)=e^-xcos y, v(x,y)=-e^-xsin y

Passo 3

Aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:calculamos
ux=-e^-xcos y,;uy=-e^-xsin y,;vx=e^-xsin y,;vy=-e^-xcos y
Vemos que ux=vy e uy=-vx valem para todo (x,y).

Passo 4

Como as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo C e as derivadas parciais são contínuas, f é holomorfa em todo C. Logo o maior domínio é C e f é inteira.

Passo 5

Para a derivada usando f'(z)=ux+i,vx temos
f'(z)=-e^-xcos y + i,e^-xsin y = -e^-x(cos y - isin y) = -f(z)

Resposta

Domínio de holomorfia: C. A função é inteira e
f'(z)=-e^-z

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