Encontre o maior domínio onde as funções são holomorfas, diga quais são inteiras e calcule a derivada
:
cos
sen
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o maior domínio em que a função é holomorfa, verificar se ela é inteira e calcular sua derivada. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade complexa (equações de Cauchy-Riemann) e propriedades da exponencial complexa.
Passo 2
Escrevemos f em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y):
Passo 3
Aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:calculamos
Vemos que
Passo 4
Como as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo
e as derivadas parciais são contínuas, f é holomorfa em todo
. Logo o maior domínio é
e f é inteira.
Passo 5
Para a derivada usando
temos
Resposta
Domínio de holomorfia:
. A função é inteira e