Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
O sistema é de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem em x(t) e y(t), e vamos usar o método de determinantes (regra de Cramer com operadores) e depois achar a solução geral adicionando a solução complementar homogênea. Precisamos conhecer o operador D=\frac{d}{dt} e saber inverter operadores lineares como
.
Passo 2
Formamos a matriz de operadores
e o vetor de termos independentes:
O determinante principal é
Passo 3
Pela regra de Cramer, a parte particular é x_p=
e y_p=
agindo sobre 1. Calculamos:
Logo
Como D[1]=0, fica
Para achar cada um, resolvemos (D^2+5)u=1. Um particular constante é u=1/5, e portanto
Passo 4
Agora resolvemos o sistema homogêneo:
Eliminando y_h gera
cuja solução é
Para y_h usamos, por exemplo, 3x_h+(D+2)y_h=0 ⇔ y_h’+2y_h=-3x_h, que leva a
Passo 5
A solução geral é a soma da parte particular com a homogênea:
Resposta
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.