Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
(D+1) x+(D-1) y=2
3 x+(D+2) y=-1

Passo 1

O sistema é de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem em x(t) e y(t), e vamos usar o método de determinantes (regra de Cramer com operadores) e depois achar a solução geral adicionando a solução complementar homogênea. Precisamos conhecer o operador D=\frac{d}{dt} e saber inverter operadores lineares como D^2+5.

Passo 2

Formamos a matriz de operadores M e o vetor de termos independentes:
M=D+1 & D-13 & D+2, b=2-1
O determinante principal é
De

Passo 3

Pela regra de Cramer, a parte particular é x_p= De e y_p= De agindo sobre 1. Calculamos:
De
De
Logo
xp=3(D+1)D^2+5,1,
yp=-(D+7)D^2+5,1
Como D[1]=0, fica
xp=3D^2+5[1],
yp=-7D^2+5[1]
Para achar cada um, resolvemos (D^2+5)u=1. Um particular constante é u=1/5, e portanto
xp=3times15=35,
yp=-7times15=-75

Passo 4

Agora resolvemos o sistema homogêneo:
(D+1)xh+(D-1)yh=0, 3xh+(D+2)yh=0
Eliminando y_h gera
(D^2+5)xh=0,
cuja solução é
xh(t)=C1cos(raiz5,t)+C2sin(raiz5,t)
Para y_h usamos, por exemplo, 3x_h+(D+2)y_h=0 ⇔ y_h’+2y_h=-3x_h, que leva a
yh(t)=-2C1+raiz5,C23cos(raiz5,t)+-raiz5,C1-2C23sin(raiz5,t)

Passo 5

A solução geral é a soma da parte particular com a homogênea:

Resposta

x(t)=C1cos(raiz5,t)+C2sin(raiz5,t)+35,
y(t)=-2C1+raiz5,C23cos(raiz5,t)+-raiz5,C1-2C23sin(raiz5,t)-75,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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