Encontre o maior domínio onde as funções são holomorfas, diga quais são inteiras e calcule a derivada (z=x+y i) :
f(z)=e^y(cos x+i sen x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(z)=e^y(\cos x + i\sin x), com z=x+iy, pede o maior domínio onde f é holomorfa, se é inteira e sua derivada.

Passo 2

Vamos reescrever f em termos de z e \bar z. Note que
e^y(cos x + isin x)=e^y e^ix=e^ix+y=e^i(x-iy)=e^iz

Passo 3

Como f(z)=e^{i\overline{z}}, ela depende de \overline{z} e não de z, então não pode ser holomorfa (que exigiria depender só de z).
Para confirmar, escrevamos as partes reais u(x,y)=e^y\cos x e v(x,y)=e^y\sin x e calculemos as derivadas parciais:
ux=-e^ysin x, uy=e^ycos x, vx=e^ycos x, vy=e^ysin x

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem u_x=v_y e u_y=-v_x, isto é
-e^ysin x = e^ysin x e e^ycos x = -e^ycos x
Estas só ocorreríam se simultaneamente sen x=0 e cos x=0, o que é impossível. Logo, não há ponto onde ambas se cumpram.

Passo 5

Portanto, não existe domínio aberto em que f seja holomorfa, ela não é inteira e não possui derivada complexa em nenhum ponto.

Resposta

Não existe domínio aberto onde f seja holomorfa; f não é inteira e não possui derivada complexa em nenhum ponto.

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