Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
O sistema dado é
e
; trata-se de um sistema linear de coeficientes constantes. Para resolver sem complicar, a gente vai usar eliminação: transformar num único EDO de segunda ordem para
e depois achar
.
Passo 2
Vamos derivar a primeira equação em relação a
. Como
, temos
Agora substituímos
e
. Antes de substituir diretamente, escrevemos
em função de
e
. Da primeira equação:
Substituindo em
recebemos
Ou seja,
Passo 3
A equação característica dessa EDO é
Resolvendo, temos
e
. Logo a solução geral para
é
Passo 4
Para achar
, voltamos em
Calculando
e substituindo,
Passo 5
Pronto! Essa é a solução geral do sistema.
Resposta
x(t)=C_1e{5t}+C_2e{-3t},\quad y(t)=\frac{C_1}{7}e{5t}-C_2e{-3t}