Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
d xd t=4 x+7 y
d yd t=x-2 y

Passo 1

O sistema dado é dxdt=4x+7y e dydt=x-2y; trata-se de um sistema linear de coeficientes constantes. Para resolver sem complicar, a gente vai usar eliminação: transformar num único EDO de segunda ordem para x(t) e depois achar y(t).

Passo 2

Vamos derivar a primeira equação em relação a t. Como dxdt=4x+7y, temos
d^2xdt^2=4dxdt+7dydt
Agora substituímos dxdt=4x+7y e dydt=x-2y. Antes de substituir diretamente, escrevemos y em função de x e x'. Da primeira equação:
y=x'-4x7
Substituindo em
x''=4x'+7(x-2y)
recebemos
x''=4x'+7x-14y=4x'+7x-14x'-4x7=4x'+7x-2x'+8x=2x'+15x
Ou seja,
x''-2x'-15x=0

Passo 3

A equação característica dessa EDO é
r^2-2r-15=0
Resolvendo, temos r=5 e r=-3. Logo a solução geral para x(t) é
x(t)=C1e^5t+C2e^-3t

Passo 4

Para achar y(t), voltamos em
Calculando y=x' -4x7 e substituindo,
x'=5C1e^5t-3C2e^-3t

Passo 5

Pronto! Essa é a solução geral do sistema.

Resposta

x(t)=C_1e{5t}+C_2e{-3t},\quad y(t)=\frac{C_1}{7}e{5t}-C_2e{-3t}

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