Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
d xd t=2 x-y
d yd t=x

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
dxdt=2x-y, dydt=x
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação, e vamos precisar transformar em uma única equação para uma das funções.

Passo 2

Da segunda equação temos x=tfracdydt. Derivando em relação a t
d^2ydt^2=dxdt
e substituindo dx/dt=2x-y e x=dy/dt obtemos
d^2ydt^2=2dydt-y

Passo 3

Reescrevendo a equação obtida temos uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
d^2ydt^2-2dydt+y=0
O polinômio característico é lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2=0, raiz dupla lambda=1.

Passo 4

A solução geral para y(t) é então
y(t)=C1e^t+C2te^t
Para encontrar x(t), usamos x=dy/dt. Calculando a derivada:
x(t)=ddt(C1e^t+C2te^t)=C1e^t+C2(e^t+te^t)=(C1+C2)e^t+C2te^t

Resposta

x(t)=(C_1+C_2)e{t}+C_2te{t}, y(t)=C_1e{t}+C_2te{t}

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