Encontre o maior domínio onde as funções são holomorfas, diga quais são inteiras e calcule a derivada
:
.
Passo 1
Na questão, temos a função
. Precisamos achar onde ela é holomorfa, ver se é inteira e calcular sua derivada. Vamos usar a teoria de Cauchy–Riemann e também propriedades de polinômios complexos.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária:
$$
u(x,y) = x^3 - 3 x y^2,$$
$$
v(x,y) = 3 x^2 y - y^3.
u_x = 3x^2 - 3y^2,$$
$$
u_y = -6xy,$$
$$
v_x = 6xy,$$
$$
v_y = 3x^2 - 3y^2.$$
Passo 3
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
$$
u_x = v_y
u_x = v_y
u_y = -v_x.
3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2
$$
para todo , as equações são satisfeitas em todo
. Por continuidade das derivadas,
é holomorfa em todo
.
para todo
Passo 4
Como
é holomorfa em
inteiro e é dada por um polinômio em
, concluímos que
é uma função inteira.
Passo 5
Para obter a derivada, usamos
Logo,
.
Resposta
Domínio:
. A função é inteira. Derivada:
.