Encontre o maior domínio onde as funções são holomorfas, diga quais são inteiras e calcule a derivada (z=x+y i) :
f(z)=x^3-3 x y^2+i(3 x^2 y-y^3).

Passo 1

Na questão, temos a função f(z) = x^3 - 3 x y^2 + il(3 x^2 y - y^3r). Precisamos achar onde ela é holomorfa, ver se é inteira e calcular sua derivada. Vamos usar a teoria de Cauchy–Riemann e também propriedades de polinômios complexos.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária:
$$
u(x,y) = x^3 - 3 x y^2,$$
$$
v(x,y) = 3 x^2 y - y^3. u(x,y) = x^3 - 3 x y^2,
u_x = 3x^2 - 3y^2,$$
$$
u_y = -6xy,$$
$$
v_x = 6xy,$$
$$
v_y = 3x^2 - 3y^2.$$

Passo 3

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
$$
u_x = v_y
u_y = -v_x. ux = vy uy = -vx
3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2
3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2 -6xy = -6xy
$$
para todo -6xy = -6xy , as equações são satisfeitas em todo (x,y). Por continuidade das derivadas, R^2 é holomorfa em todo f.

Passo 4

Como f é holomorfa em C inteiro e é dada por um polinômio em z, concluímos que f é uma função inteira.

Passo 5

Para obter a derivada, usamos
f'(z) = ux + i,vx = (3x^2 - 3y^2) + i,(6xy) = 3(x+iy)^2 = 3z^2
Logo, f'(z) = 3z^2.

Resposta

Domínio: C. A função é inteira. Derivada: f'(z) = 3z^2.

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