Encontre o raio de convergência das séries:
sumk=1^infty (2 x-4)^3 kk!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série:
sumk=1^infty (2 x-4)^3 kk!
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar. Observa que (2x - 4)^3k pode ser escrito como [(2x - 4)^3]^k. Assim, a série fica:
sumk=1^infty [(2x - 4)^3]^kk!
Isso nos mostra que a série tem a forma sumk=1^infty a^kk!, onde a = (2x - 4)^3.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries desse tipo. O Teste da Razão diz que:
limk to infty | ak+1ak | = L
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para nossa série. Aqui, ak = a^kk!, então:
ak+1ak = a^k+1(k+1)!a^kk! = ak+1
Então, o limite fica:
L = limk to infty | ak+1 | = limk to infty |a|k+1 = 0

Passo 5

Como L = 0 que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de a. No nosso caso, a = (2x - 4)^3, então a série converge para qualquer valor de x.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, ou seja, R = infty.

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