Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar. Observa que pode ser escrito como . Assim, a série fica:
Isso nos mostra que a série tem a forma , onde .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries desse tipo. O Teste da Razão diz que:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular esse limite para nossa série. Aqui, ak = a^kk!, então:
ak+1ak = a^k+1(k+1)!a^kk! = ak+1
Então, o limite fica:
L = limk to infty | ak+1 | = limk to infty |a|k+1 = 0
Passo 5
Como L = 0 que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de a. No nosso caso, a = (2x - 4)^3, então a série converge para qualquer valor de x.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, ou seja, R = infty.