Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
D^2 x- D y=t
(D+3) x+(D+3) y=2

Passo 1

A questão dá o sistema
(D^2) x 0 D y = t
(D+3)x + (D+3)y = 2
e pede para resolver por eliminação sistemática ou determinantes. É conteúdo de equações diferenciais lineares de operadores constantes; vamos usar eliminação de operadores e resolver passo a passo.

Passo 2

Da segunda equação podemos fatorar o operador (D+3):
[(D+3)x + (D+3)y] = 2
é equivalente a
[(D+3)(x+y)] = 2.

Passo 3

Chamando z = x + y, temos uma EDO de primeira ordem em z:
D z + 3z = 2
que é linear e constante. A solução geral é soma da homogênea e particular. A homogênea satisfaz Dz_h + 3z_h = 0, logo z_h = A e^{-3t}. Um particular constante z_p = const satisfaz 3z_p = 2, logo z_p = 2/3. Assim
z(t) = A e^-3t + 23

Passo 4

Como z = x + y, temos y = z - x. Substituindo em D^2 x - D y = t:
D^2 x - D(z - x) = t
ou seja
D^2 x + D x - D z = t
e portanto
(D^2 + D)x = t + D z

Passo 5

Calculamos Dz = D[A e^{-3t} + 2/3] = -3A e^{-3t}. Logo a EDO para x fica
(D^2 + D)x = t - 3A e^-3t
A equação homogênea r^2 + r = 0 tem raízes r=0, r=-1, dando solução homogênea
xh(t) = C1 + C2 e^-t
Para a parte não-homogênea separamos f(t)=t e g(t)= -3A e^{-3t}:
  1. Suponha x_{p1} = a t^2 + b t. Substituindo em (D^2 + D)x_{p1} = t leva a 2a t + (2a+b) = t, o que dá a=1/2, b=-1.
  2. Suponha x_{p2} = K e^{-3t}. Substituindo dá 6K e^{-3t} = -3A e^{-3t}, logo K = -A/2.
Assim a particular total é
xp(t) = 12t^2 - t - A2e^-3t
E a solução geral de x é
x(t) = C1 + C2 e^-t + 12t^2 - t - A2e^-3t

Passo 6

Finalmente, y = z - x. Como z(t) = A e^{-3t} + 2/3, temos
y(t) = A e^-3t + 23 - l(C1 + C2 e^-t + 12t^2 - t - A2e^-3tr)
Simplificando os termos exponenciais e polinomiais e renomeando constantes (por exemplo A→C_3), obtemos as constantes gerais C_1,C_2,C_3.

Passo 7

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = C1 + C2 e^-t - C32e^-3t + 12t^2 - t,
y(t) = -C1 - C2 e^-t + 3C32e^-3t - 12t^2 + t + 23,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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