Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
A questão dá o sistema
(D^2) x 0 D y = t
(D+3)x + (D+3)y = 2
e pede para resolver por eliminação sistemática ou determinantes. É conteúdo de equações diferenciais lineares de operadores constantes; vamos usar eliminação de operadores e resolver passo a passo.
Passo 2
Da segunda equação podemos fatorar o operador (D+3):
[(D+3)x + (D+3)y] = 2
é equivalente a
[(D+3)(x+y)] = 2.
Passo 3
Chamando z = x + y, temos uma EDO de primeira ordem em z:
que é linear e constante. A solução geral é soma da homogênea e particular. A homogênea satisfaz Dz_h + 3z_h = 0, logo z_h = A e^{-3t}. Um particular constante z_p = const satisfaz 3z_p = 2, logo z_p = 2/3. Assim
Passo 4
Como z = x + y, temos y = z - x. Substituindo em D^2 x - D y = t:
ou seja
e portanto
Passo 5
Calculamos Dz = D[A e^{-3t} + 2/3] = -3A e^{-3t}. Logo a EDO para x fica
A equação homogênea r^2 + r = 0 tem raízes r=0, r=-1, dando solução homogênea
Para a parte não-homogênea separamos f(t)=t e g(t)= -3A e^{-3t}:
-
Suponha x_{p1} = a t^2 + b t. Substituindo em (D^2 + D)x_{p1} = t leva a 2a t + (2a+b) = t, o que dá a=1/2, b=-1.
-
Suponha x_{p2} = K e^{-3t}. Substituindo dá 6K e^{-3t} = -3A e^{-3t}, logo K = -A/2.
Assim a particular total é
E a solução geral de x é
Passo 6
Finalmente, y = z - x. Como z(t) = A e^{-3t} + 2/3, temos
Simplificando os termos exponenciais e polinomiais e renomeando constantes (por exemplo A→C_3), obtemos as constantes gerais C_1,C_2,C_3.
Passo 7
Resposta
A solução geral do sistema é
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.