QUESTÃO 13

Calcule o valor da expressão abaixo e assinale a opção correta.
\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{3}+6 x^{2}+11 x+6}
(A) 0,0012
(B) 0,0055
(C) 0,0122
(D) 0,0266
(E) 0,1222

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6}
que é uma integral de função racional. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador:
x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6 = (x+1)(x+2)(x+3).

Passo 3

Escrevemos
\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2)(x+3) e avaliando em x=-1,-2,-3, obtemos
A = \frac{1}{((-1)+2)((-1)+3)} = \frac12,\quad B = \frac{1}{((-2)+1)((-2)+3)} = -1,\quad C = \frac{1}{((-3)+1)((-3)+2)} = \frac12.

Passo 4

Logo
\frac{1}{x^{3}+6x^{2}+11x+6} = \frac{1/2}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1/2}{x+3}.
Integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{x^{3}+6x^{2}+11x+6} = \frac12\ln|x+1| - \ln|x+2| + \frac12\ln|x+3| + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
I = \Bigl[\tfrac12\ln(x+1)-\ln(x+2)+\tfrac12\ln(x+3)\Bigr]_{1}^{2}.
Isso dá
I = \frac12\ln 3 - \ln 4 + \frac12\ln 5 \;-\;\Bigl(\frac12\ln 2 - \ln 3 + \frac12\ln 4\Bigr).
Reorganizando e usando \ln4=2\ln2,
I = -\frac{7}{2}\ln2 + \frac{3}{2}\ln3 + \frac12\ln5.

Passo 6

Para obter valor numérico, usamos \ln2\approx0,6931, \ln3\approx1,0986, \ln5\approx1,6094. Então
I \approx -3{,}5\cdot0{,}6931 + 1{,}5\cdot1{,}0986 + 0{,}5\cdot1{,}6094 \approx 0{,}0266.
Comparando com as opções, é a (D).

Resposta

(D) 0,0266

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