Questão 3. (a) Verifique se as soluções particulares y_{1} e y_{2} das EDLH de 2^{a} ordem de coeficientes constantes são linearmente independentes (L.I.) abaixo. (b) Encontre a solução geral das EDLH dadas:
(a)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0
(b)
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0
(c)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0
(d)
9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+y=0
(e)
\begin{array}{r} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1 \end{array}
(f)
\begin{array}{r} y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=0 \\\ y(1)=1, \quad y^{\prime}(1)=0 \end{array}
(g)
\begin{array}{r} 9 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1 \end{array}
(h)
\begin{array}{r} y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0 \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para cada equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
  1. encontrar as raízes da equação característica,
  2. verificar que duas soluções fundamentais são linearmente independentes (via Wronskiano ou argumento de expoentes distintos),
  3. escrever a solução geral,
    e nos itens com condições iniciais, determinar as constantes para obter a solução particular.

Passo 2

Equação (a):
y'' + 2y' - 3y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r - 3 = 0 \implies (r-1)(r+3)=0,
logo r_1=1, r_2=-3. Duas soluções particulares são \displaystyle y_1=e^{r_1x}=e^{x} e \displaystyle y_2=e^{r_2x}=e^{-3x}.
O Wronskiano é
W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} e^x & e^{-3x}\\\ e^x & -3e^{-3x} \end{vmatrix} =e^x(-3e^{-3x})-e^x(e^{-3x})=-4e^{-2x}\neq0,
portanto são LI. A solução geral é
y=C_1e^{x}+C_2e^{-3x}.

Passo 3

Equação (b):
2y'' - 3y' + y = 0.
Divide-se por 2 e forma-se
r^2 - \tfrac{3}{2}r + \tfrac{1}{2}=0 \implies (r-1)(2r-1)=0,
logo r_1=1, r_2=\tfrac12. As soluções são y_1=e^{x}, y_2=e^{x/2}. O Wronskiano
W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} e^x & e^{x/2}\\\ e^x & \tfrac12e^{x/2} \end{vmatrix} =e^x\Bigl(\tfrac12e^{x/2}\Bigr)-e^x e^{x/2}=-\tfrac12e^{3x/2}\neq0,
logo LI. Assim
y=C_1e^{x}+C_2e^{x/2}.

Passo 4

Equação (c):
y'' - 2y' + y = 0.
Característica
r^2 - 2r +1=0 \implies (r-1)^2=0,
raiz dupla r=1. As soluções fundamentais são \displaystyle y_1=e^{x}, y_2=xe^{x}, cuja independência vem de
W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} e^x & xe^x\\\ e^x & (1+x)e^x \end{vmatrix} =e^{2x}\neq0.
Portanto
y=(C_1+C_2x)e^{x}.

Passo 5

Equação (d):
9y''+6y'+y=0.
Característica
9r^2+6r+1=0 \implies (3r+1)^2=0,
raiz dupla r=-\tfrac13. As soluções são \displaystyle y_1=e^{-x/3}, y_2=xe^{-x/3}. Logo
y=(C_1+C_2x)e^{-x/3}.

Passo 6

Equação (e) com y(0)=2, y'(0)=-1:
y''+4y'+3y=0.
Característica r^2+4r+3=0\implies r=-1,-3. Solução geral
y=C_1e^{-x}+C_2e^{-3x}.
Derivando e impondo as condições:
y(0)=C_1+C_2=2,\quad y'(x)=-C_1e^{-x}-3C_2e^{-3x}\implies y'(0)=-C_1-3C_2=-1.
Resolvendo o sistema: \;C_1=2-C_2, - (2-C_2)-3C_2=-1\implies -2-2C_2=-1\implies C_2=-\tfrac12,\;C_1=\tfrac52.
Portanto
y=\tfrac52e^{-x}-\tfrac12e^{-3x}.

Passo 7

Equação (f) com y(1)=1, y'(1)=0:
y''+8y'-9y=0.
Característica r^2+8r-9=0\implies r=1,-9. Solução geral \,y=C_1e^{x}+C_2e^{-9x}.
Impondo y(1)=C_1e+C_2e^{-9}=1 e y'(1)=C_1e-9C_2e^{-9}=0.
Dessas equações obtém-se
C_2=\frac{e^9}{10},\quad C_1=\frac{9}{10e}.
Logo
y=\frac{9}{10e}e^{x}+\frac{e^9}{10}e^{-9x}.

Passo 8

Equação (g) com y(0)=2, y'(0)=-1:
9y''-12y'+4y=0.
Característica 9r^2-12r+4=0\implies(3r-2)^2=0, raiz dupla r=\tfrac23.
Solução geral \,y=(C_1+C_2x)e^{2x/3}.
Impondo y(0)=C_1=2 e y'(0)=C_2+\tfrac{2}{3}C_1=-1\implies C_2=-\tfrac{7}{3}.
Assim
y=\Bigl(2-\tfrac{7}{3}x\Bigr)e^{2x/3}.

Passo 9

Equação (h) com y(0)=0, y'(0)=2:
y''-6y'+9y=0.
Característica (r-3)^2=0, raiz dupla r=3.
Solução geral
y=(C_1+C_2x)e^{3x}.
Impondo y(0)=C_1=0, y'(0)=C_2+3C_1=2\implies C_2=2.
Logo
y=2x\,e^{3x}.

Resposta

(a) y=C_1e^{x}+C_2e^{-3x}.
(b) y=C_1e^{x}+C_2e^{x/2}.
(c) y=(C_1+C_2x)e^{x}.
(d) y=(C_1+C_2x)e^{-x/3}.
(e) y=\tfrac52e^{-x}-\tfrac12e^{-3x}.
(f) y=\frac{9}{10e}e^{x}+\frac{e^9}{10}e^{-9x}.
(g) y=\bigl(2-\tfrac{7}{3}x\bigr)e^{2x/3}.
(h) y=2x\,e^{3x}.

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