Questão 3. (a) Verifique se as soluções particulares
e
das EDLH de
ordem de coeficientes constantes são linearmente independentes (L.I.) abaixo. (b) Encontre a solução geral das EDLH dadas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para cada equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
- encontrar as raízes da equação característica,
- verificar que duas soluções fundamentais são linearmente independentes (via Wronskiano ou argumento de expoentes distintos),
- escrever a solução geral,
e nos itens com condições iniciais, determinar as constantes para obter a solução particular.
Passo 2
Equação (a):
A equação característica é
logo
,
. Duas soluções particulares são
e
O Wronskiano é
O Wronskiano é
portanto são LI. A solução geral é
Passo 3
Equação (b):
Divide-se por 2 e forma-se
logo
,
. As soluções são
,
. O Wronskiano
logo LI. Assim
Passo 4
Equação (c):
Característica
raiz dupla
. As soluções fundamentais são
,
, cuja independência vem de
Portanto
Passo 5
Equação (d):
Característica
raiz dupla
. As soluções são
,
. Logo
Passo 6
Equação (e) com
,
:
Característica
. Solução geral
Derivando e impondo as condições:
Resolvendo o sistema:
,
Portanto
Portanto
Passo 7
Equação (f) com
,
:
Característica
. Solução geral
Impondo e
.
Dessas equações obtém-se
Impondo
Dessas equações obtém-se
Logo
Passo 8
Equação (g) com
,
:
Característica
, raiz dupla
.
Solução geral
Impondo e
Assim
Solução geral
Impondo
Assim
Passo 9
Equação (h) com
,
:
Característica
, raiz dupla
.
Solução geral
Solução geral
Impondo
,
.
Logo
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)