A partir do vetor gradiente, forneça quais são os valores das inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima do ponto na função.
h(x, y, z)=6y^3 x-8z^4 x, no ponto (14, 2,-2).

Passo 1

O enunciado pede as inclinações direcionais máxima e mínima de h(x,y,z) no ponto l(tfrac14,2,-2r). Em teoria de derivadas direcionais, sabemos que a inclinação direcional máxima num ponto é o módulo do vetor gradiente ali, e a mínima é o negativo desse módulo.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor gradiente de
h(x,y,z)=6x^-1y^-3-8x^-1z^-4
Para a derivada parcial em relação a x temos
partial hpartial x =-6,x^-2y^-3+8,x^-2z^-4
Para a derivada parcial em relação a y temos
partial hpartial y =-18,x^-1y^-4
Para a derivada parcial em relação a z temos
partial hpartial z =32,x^-1z^-5

Passo 3

Agora avaliamos cada componente em l(x,y,zr)=l(tfrac14,2,-2r).
Para partial h/partial x:
x^-2=(tfrac14)^-2=16, y^3=8, z^4=16,
partial hpartial x| =16l(-68+816r) =16l(-tfrac34+tfrac12r) =-4
Para partial h/partial y:
x^-1=4, y^4=16,
partial hpartial y| =-18cdot416 =-7216 =-92
Para partial h/partial z:
x^-1=4, z^5=(-2)^5=-32,
partial hpartial z| =32cdot4-32 =-4
Logo
nabla hl(tfrac14,2,-2r)=(-4,,-tfrac92,,-4)

Passo 4

O módulo do gradiente é
l|nabla hr| =raiz(-4)^2+l(-tfrac92r)^2+(-4)^2 =raiz16+tfrac814+16 =raiztfrac128+814 =raiz2092
Portanto a inclinação direcional máxima é tfracraiz2092 e a mínima é -tfracraiz2092.

Resposta

A inclinação direcional máxima é raiz2092.
A inclinação direcional mínima é -raiz2092.

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