A partir do vetor gradiente, forneça quais são os valores das inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima do ponto na função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima no ponto
. O conteúdo envolvido é derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Em geral, para uma função
e direção unitária
, a derivada direcional em
vale
e os valores extremos ocorrem quando
é paralelo a
. Assim
Passo 3
Vamos calcular
. Como
temos as parciais
Portanto
Passo 4
Avaliar em
: primeiro
Logo
e usando
obtemos
Passo 5
O módulo desse gradiente é
Portanto, a derivada direcional máxima é esse valor positivo e a mínima é o negativo dele.
Resposta
A inclinação máxima é
e a inclinação mínima é