A partir do vetor gradiente, forneça quais são os valores das inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima do ponto na função.

Passo 1

O enunciado dá a função
i(x,y,z,w)=2^x y,3^y,4^zw^2
e pede as inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima no ponto (7,0,1,-2). O conteúdo envolvido é derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Em geral, para uma função i e direção unitária u, a derivada direcional em p vale
D ui( p)=nabla i( p)cdot u,
e os valores extremos ocorrem quando u é paralelo a nabla i( p). Assim
max| u|=1D ui( p)=|nabla i( p)|, min| u|=1D ui( p)=-|nabla i( p)|

Passo 3

Vamos calcular nabla i(x,y,z,w). Como
i(x,y,z,w)=2^xy,3^y,4^z,w^-2,
temos as parciais
partial ipartial x =yln(2);i(x,y,z,w), partial ipartial y =l(xln(2)+ln(3)r);i(x,y,z,w),
partial ipartial z =ln(4);i(x,y,z,w), partial ipartial w =-2w;i(x,y,z,w)
Portanto
nabla i(x,y,z,w) =l(yln(2),,xln(2)+ln(3),,ln(4),,-tfrac2wr);i(x,y,z,w)

Passo 4

Avaliar em (7,0,1,-2): primeiro
i(7,0,1,-2) =2^0,3^0,4^1(-2)^2 =1
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nabla i(7,0,1,-2) =l(0,,7ln(2)+ln(3),,ln(4),,1r),
e usando ln(4)=2ln(2) obtemos
nabla i(7,0,1,-2) =(0,;7ln(2)+ln(3),;2ln(2),;1)

Passo 5

O módulo desse gradiente é
|nabla i(7,0,1,-2)| =raiz0^2+(7ln(2)+ln(3))^2+(2ln(2))^2+1^2
Portanto, a derivada direcional máxima é esse valor positivo e a mínima é o negativo dele.

Resposta

A inclinação máxima é
raiz(7ln(2)+ln(3))^2+(2ln(2))^2+1
e a inclinação mínima é
-raiz(7ln(2)+ln(3))^2+(2ln(2))^2+1

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