Encontre a massa e o centro de massa de uma placa fina com a forma de uma região limitada pelas curvas e se a densidade no ponto for .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma placa fina com uma forma definida pelas curvas e . A densidade da placa em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é encontrar a massa dessa placa e as coordenadas do centro de massa dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à geometria da região .
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a região onde a placa está localizada. As curvas que delimitam são e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de :
Assim, ou .
Então, a região está entre e , com variando de a .
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa da placa. A massa é obtida integrando a densidade sobre a região :
Substituindo a densidade , temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos o resultado obtido em relação a de 0 a 1:
Calculando cada integral:
Então, a massa da placa é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa. As fórmulas para essas coordenadas são:
y = 1M integral duplaD y rho(x, y) , dA
Vamos calcular e separadamente.
Passo 7
Primeiro, calculamos x = 112 integral duplaD x (y + 1) , dA = 2 integral0^1 integraly^2^2y - y^2 x (y + 1) , dx , dy :