Encontre a massa e o centro de massa de uma placa fina com a forma de uma região D limitada pelas curvas x=y^2 e x=2 y-y^2 se a densidade no ponto (x, y) for rho(x, y)=y+1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma placa fina com uma forma definida pelas curvas e . A densidade da placa em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é encontrar a massa dessa placa e as coordenadas do centro de massa dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à geometria da região .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a região y^2 = 2y - y^2 onde a placa está localizada. As curvas que delimitam 2y^2 - 2y = 0 são 2y(y - 1) = 0 e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de :
Assim, ou .
Então, a região está entre e , com variando de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa da placa. A massa é obtida integrando a densidade sobre a região M = integral duplaD rho(x, y) , dA :
M = integral0^1 integraly^2^2y - y^2 (y + 1) , dx , dy
Substituindo a densidade , temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly^2^2y - y^2 (y + 1) , dx = (y + 1) [ x ]y^2^2y - y^2 = (y + 1) ( (2y - y^2) - y^2 ) :
(y + 1)(2y - 2y^2) = 2y(y + 1) - 2y^2(y + 1) = 2y + 2y^2 - 2y^3 - 2y^2 = 2y - 2y^3
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos o resultado obtido em relação a M = integral0^1 (2y - 2y^3) , dy = 2 integral0^1 y , dy - 2 integral0^1 y^3 , dy de 0 a 1:
2 [ y^22 ]0^1 - 2 [ y^44 ]0^1 = 2 ( 12 - 0 ) - 2 ( 14 - 0 ) = 1 - 12 = 12
Calculando cada integral:
Então, a massa da placa é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa x = 1M integral duplaD x rho(x, y) , dA . As fórmulas para essas coordenadas são:
y = 1M integral duplaD y rho(x, y) , dA
Vamos calcular e separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos x = 112 integral duplaD x (y + 1) , dA = 2 integral0^1 integraly^2^2y - y^2 x (y + 1) , dx , dy :
(y + 1) integraly^2^2y - y^2 x , dx = (y + 1) [ x^22 ]y^2^2y - y^2 = (y + 1) ( (2y - y^2)^22 - (y^2)^22 )
Resolvendo a integral interna:
(y + 1) ( 4y^2 - 4y^3 + y^42 - y^42 ) = (y + 1) ( 2y^2 - 2y^3 ) = (y + 1)(2y^2 - 2y^3) = 2y^2 + 2y^3 - 2y^3 - 2y^4 = 2y^2 - 2y^4
Simplificando:
2 integral0^1 (2y^2 - 2y^4) , dy = 4 integral0^1 y^2 , dy - 4 integral0^1 y^4 , dy = 4 [ y^33 ]0^1 - 4 [ y^55 ]0^1 = 4 ( 13 ) - 4 ( 15 ) = 43 - 45 = 20 - 1215 = 815
Integrando em relação a :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos calcular y = 112 integral duplaD y (y + 1) , dA = 2 integral0^1 integraly^2^2y - y^2 y (y + 1) , dx , dy :
y(y + 1) integraly^2^2y - y^2 , dx = y(y + 1) ( (2y - y^2) - y^2 ) = y(y + 1)(2y - 2y^2) = 2y^2(y + 1) - 2y^3(y + 1) = 2y^2 + 2y^3 - 2y^3 - 2y^4 = 2y^2 - 2y^4
Resolvendo a integral interna:
2 integral0^1 (2y^2 - 2y^4) , dy = 4 integral0^1 y^2 , dy - 4 integral0^1 y^4 , dy = 4 ( 13 ) - 4 ( 15 ) = 43 - 45 = 20 - 1215 = 815
Integrando em relação a :
Então, .

Resposta

A massa da placa é unidades de massa, e o centro de massa está localizado nas coordenadas .

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