Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(f) integral theta^2 cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral theta^2 cos (theta) dtheta usando a Técnica de Integração por Partes. A matéria que estamos mexendo aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher bem as partes da função que vamos derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Basicamente, você escolhe uma parte para ser u (que você vai derivar) e outra para ser dv (que você vai integrar). Isso ajuda a simplificar a integral original.

Passo 3

Agora, vamos escolher u e dv para a nossa integral integral theta^2 cos (theta) dtheta. Geralmente, escolhemos u como sendo a parte que fica mais simples quando derivada. Então aqui, vamos deixar:
u = theta^2
dv = cos(theta) dtheta

Passo 4

Vamos derivar u e integrar dv:
du = 2theta dtheta
v = integral cos(theta) dtheta = sin(theta)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral theta^2 cos (theta) dtheta = u cdot v - integral v , du
= theta^2 cdot sin(theta) - integral sin(theta) cdot 2theta dtheta
= theta^2 sin(theta) - 2 integral theta sin(theta) dtheta

Passo 6

Aí a gente se depara com outra integral, integral theta sin(theta) dtheta, que também precisa de integração por partes. Vamos repetir o processo:
Escolhemos:
u = theta
dv = sin(theta) dtheta
Derivando e integrando:
du = dtheta
v = -cos(theta)
Aplicando a fórmula:
integral theta sin(theta) dtheta = u cdot v - integral v , du
= theta cdot (-cos(theta)) - integral (-cos(theta)) dtheta
= -theta cos(theta) + integral cos(theta) dtheta
= -theta cos(theta) + sin(theta)

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral theta^2 cos (theta) dtheta = theta^2 sin(theta) - 2 ( -theta cos(theta) + sin(theta) )
= theta^2 sin(theta) + 2theta cos(theta) - 2sin(theta) + C

Resposta

Portanto, a primitiva de theta^2 cos (theta) é:
theta^2 sin(theta) + 2theta cos(theta) - 2sin(theta) + C

Exercícios relacionados