A Lei de Gravitação de Newton afirma que dois corpos de massa m1 e m2 atraem, um ao outro, com uma força
F(r)=-G m1 m2r^2
onde r é a distância entre os seus centros de massa e G é a constante gravitacional.
© Determine a velocidade inicial de escape v0 necessária para o foguete, sabendo que a energia cinética inicial 12 m v0^2 deve suprir o trabalho necessário.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de escape inicial v₀ para um foguete de massa m partindo da superfície de um corpo de massa M e raio R, sabendo que a energia cinética inicial tfrac12 m v0^2 deve igualar o trabalho necessário contra a força gravitacional. Vamos usar conservação de energia mecânica e cálculo de trabalho de uma força variável.

Passo 2

O trabalho realizado pela força gravitacional para levar o foguete de r=R até r=∞ é dado por W = -integralR^inftyF(r),dr. Como F(r)=-GtfracM mr^2, temos:
W = -integralR^infty l(-GtfracM mr^2r) dr = G M m integralR^infty tfrac1r^2 dr = G M m l[-tfrac1rr]R^infty = GtfracM mR

Passo 3

Igualando a energia cinética inicial ao trabalho de fuga:
tfrac12 m v0^2 = GtfracM mR

Passo 4

Cancelando m e isolando v₀:
v0 = raiz2,G,MR

Resposta

v0=raiz2GMR

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