Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=cc0, & -pi <= x<0 x^2, & 0 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier da função definida por:
f(x) = 0, & -pi <= x < 0 x^2, & 0 <= x <= pi
Conteúdo da Matéria: Série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
O que vamos precisar: Conhecer as fórmulas para calcular os coeficientes da série de Fourier para funções definidas em um intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) ) é dada por:
Aqui, é o termo constante, e os e são os coeficientes dos cossenos e senos, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx , que representa a média da função no intervalo:
a0 = 1pi integral0^pi x^2 , dx
Como nossa função é igual a zero de a , a integral simplifica para:

Passo 4

Calculando a0 = 1pi [ x^33 ]0^pi = 1pi ( pi^33 - 0 ) = pi^23 :

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx :
an = 1pi integral0^pi x^2 cos(nx) , dx
Novamente, como para :

Passo 6

Para resolver essa integral, utilizamos a integração por partes. Seja:
u = x^2 implies du = 2x , dx
dv = cos(nx) , dx implies v = sin(nx)n
Aplicando integração por partes:
integral x^2 cos(nx) , dx = x^2 cdot sin(nx)n - integral sin(nx)n cdot 2x , dx
A segunda integral ainda precisa ser resolvida por partes novamente.

Passo 7

Vamos calcular a segunda integral:
integral 2x cdot sin(nx)n , dx = 2n integral x sin(nx) , dx
Aplicando integração por partes novamente:
u = x implies du = dx
dv = sin(nx) , dx implies v = -cos(nx)n
Então:
integral x sin(nx) , dx = -x cos(nx)n + 1n integral cos(nx) , dx = -x cos(nx)n + sin(nx)n^2

Passo 8

Voltando à integral original:
integral x^2 cos(nx) , dx = x^2 sin(nx)n - 2n ( -x cos(nx)n + sin(nx)n^2 )
= x^2 sin(nx)n + 2x cos(nx)n^2 - 2 sin(nx)n^3
Agora, avaliamos de an = 1pi [ pi^2 sin(npi)n + 2 pi cos(npi)n^2 - 2 sin(npi)n^3 - ( 0 + 0 - 0 ) ] a :

Passo 9

Sabemos que an = 1pi ( 0 + 2 pi (-1)^nn^2 - 0 ) = 2 (-1)^nn^2 para qualquer inteiro , e . Portanto:

Passo 10

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx :
bn = 1pi integral0^pi x^2 sin(nx) , dx
Novamente, como para :

Passo 11

Para resolver essa integral, usamos integração por partes:
u = x^2 implies du = 2x , dx
dv = sin(nx) , dx implies v = -cos(nx)n
Então:
integral x^2 sin(nx) , dx = -x^2 cos(nx)n + 2n integral x cos(nx) , dx
A segunda integral é:
integral x cos(nx) , dx

Passo 12

Aplicando integração por partes novamente:
u = x implies du = dx
dv = cos(nx) , dx implies v = sin(nx)n
Então:
integral x cos(nx) , dx = x sin(nx)n - 1n integral sin(nx) , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2

Passo 13

Voltando à integral original:
bn = 1pi [ -pi^2 cos(npi)n + 2n ( pi sin(npi)n + cos(npi)n^2 ) - ( 0 + 0 ) ]
Simplificando:
bn = 1pi ( -pi^2 (-1)^nn + 2 cdot 0n^2 + 2 (-1)^nn^3 ) = -pi (-1)^nn + 2 (-1)^npi n^3

Passo 14

Note que os termos envolvendo bn = -pi (-1)^nn + 2 (-1)^npi n^3 anulam, pois . Portanto, simplificamos para:
Este termo representa os coeficientes de seno na nossa série de Fourier.

Resposta

A série de Fourier da função dada é:
f(x) = pi^23 + sumn=1^infty ( 2 (-1)^nn^2 cos(nx) + ( -pi (-1)^nn + 2 (-1)^npi n^3 ) sin(nx) )

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