Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier da função definida por:
Conteúdo da Matéria: Série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
O que vamos precisar: Conhecer as fórmulas para calcular os coeficientes da série de Fourier para funções definidas em um intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período
é dada por:
Aqui,
é o termo constante, e os
e
são os coeficientes dos cossenos e senos, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo:
Como nossa função é igual a zero de
a
, a integral simplifica para:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Novamente, como
para
:
Passo 6
Para resolver essa integral, utilizamos a integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
A segunda integral ainda precisa ser resolvida por partes novamente.
Passo 7
Vamos calcular a segunda integral:
Aplicando integração por partes novamente:
Então:
Passo 8
Voltando à integral original:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 9
Sabemos que
para qualquer inteiro
, e
. Portanto:
Passo 10
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Novamente, como
para
:
Passo 11
Para resolver essa integral, usamos integração por partes:
Então:
A segunda integral é:
Passo 12
Aplicando integração por partes novamente:
Então:
Passo 13
Voltando à integral original:
Simplificando:
Passo 14
Note que os termos envolvendo
anulam, pois
. Portanto, simplificamos para:
Este termo representa os coeficientes de seno na nossa série de Fourier.
Resposta
A série de Fourier da função dada é: