Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Um cone circular reto de raio
, altura
e densidade constante, em rotação sobre o eixo de simetria.
Um cone circular reto de raio
Passo 1
O enunciado pede a massa total, o centro de massa e o momento de inércia de um cone circular reto de raio
, altura
e densidade volumétrica constante
, considerando rotação em torno do eixo de simetria (eixo
). Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas, definição de massa via densidade volumétrica, fórmula do centro de massa e do momento de inércia.
Passo 2
Massa total: como a densidade é constante em todo o volume, basta multiplicar a densidade pelo volume do cone. O volume de um cone reto é
então a massa é
Passo 3
Centro de massa: por simetria, as coordenadas
e
do centro de massa são zero, só precisamos de
. A definição é
Em coordenadas cilíndricas
e o raio da seção a uma altura
vale
Assim
Fazendo as integrais em
e
e usando
obtém-se
Passo 4
Momento de inércia em torno do eixo de simetria: a definição é
Em coordenadas cilíndricas:
Como
segue
Substituindo
, chega-se a
Resposta
M = \frac{\rho,\pi a^2 h}{3}, centro de massa em (0,0,\tfrac{h}{4}), momento de inércia I = \frac{3}{10}Ma^2.