Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Um cone circular reto de raio a, altura h e densidade constante, em rotação sobre o eixo de simetria.

Passo 1

O enunciado pede a massa total, o centro de massa e o momento de inércia de um cone circular reto de raio a, altura h e densidade volumétrica constante rho, considerando rotação em torno do eixo de simetria (eixo z). Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas, definição de massa via densidade volumétrica, fórmula do centro de massa e do momento de inércia.

Passo 2

Massa total: como a densidade é constante em todo o volume, basta multiplicar a densidade pelo volume do cone. O volume de um cone reto é
V = 13pi a^2 h
então a massa é
M = rho,V = rho,pi a^2 h3

Passo 3

Centro de massa: por simetria, as coordenadas x e y do centro de massa são zero, só precisamos de bar z. A definição é
bar z = 1Mintegral z,dm
Em coordenadas cilíndricas dm=rho,dV=rho,r,dr,dtheta,dz e o raio da seção a uma altura z vale
R(z)=al(1- zhr)
Assim
bar z = 1Mintegral0^hintegral0^2piintegral0^R(z)z,rho,r,dr,dtheta,dz
Fazendo as integrais em r e theta e usando
integral0^hzl(1- zhr)^2dz=h^212,
obtém-se
bar z = M,h4M = h4

Passo 4

Momento de inércia em torno do eixo de simetria: a definição é
I = integral r^2,dm
Em coordenadas cilíndricas:
I = integral0^hintegral0^2piintegral0^R(z)r^2,rho,r,dr,dtheta,dz =2pirhointegral0^hR(z)^44dz =pirho2integral0^ha^4l(1- zhr)^4dz
Como
integral0^hl(1- zhr)^4dz=h5,
segue
I = pirho a^4 h10
Substituindo rho=3Mpi a^2 h, chega-se a
I = 310Ma^2

Resposta

M = \frac{\rho,\pi a^2 h}{3}, centro de massa em (0,0,\tfrac{h}{4}), momento de inércia I = \frac{3}{10}Ma^2.

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