Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Hoje, vamos trabalhar com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis $ x $ e $ y $ de um lado para o outro para facilitar a resolução. Para isso, precisamos organizar a equação de uma forma que todas as $ y $ fiquem de um lado e as $ x $ do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por $ y $ e de $ dx $ para obter:
Aqui, movemos o $ y $ para o lado esquerdo e o $ x $ para o lado direito, deixando as diferenças em suas próprias partes.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções primitivas que, ao derivarmos, nos dão os termos originais.
Vamos calcular essas integrais uma por uma.
Passo 4
Calculando a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que aparecerão depois de integrar.
Passo 5
Vamos unir as duas partes integradas:
Podemos simplificar essa expressão para facilitar a visualização.
Passo 6
Subtraindo $ C_1 $ de ambos os lados e multiplicando tudo por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
Onde $ C = 2(C_2 - C_1) $ é uma nova constante que engloba as anteriores.
Passo 7
Arranjando os termos, temos a solução geral da equação diferencial:
Isso representa a equação de um círculo com raio
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ x^2 + y^2 = C $, onde $ C $ é uma constante.