Resolva as equações diferenciais:
d yd x=-xy

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: d yd x=-xy. Hoje, vamos trabalhar com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis $ x $ e $ y $ de um lado para o outro para facilitar a resolução. Para isso, precisamos organizar a equação de uma forma que todas as $ y $ fiquem de um lado e as $ x $ do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por $ y $ e de $ dx $ para obter:
y
Aqui, movemos o $ y $ para o lado esquerdo e o $ x $ para o lado direito, deixando as diferenças em suas próprias partes.

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções primitivas que, ao derivarmos, nos dão os termos originais.
integral y , dy = integral -x , dx
Vamos calcular essas integrais uma por uma.

Passo 4

Calculando a integral do lado esquerdo:
integral y , dy = 12 y^2 + C1
E a integral do lado direito:
integral -x , dx = -12 x^2 + C2
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que aparecerão depois de integrar.

Passo 5

Vamos unir as duas partes integradas:
12 y^2 + C1 = -12 x^2 + C2
Podemos simplificar essa expressão para facilitar a visualização.

Passo 6

Subtraindo $ C_1 $ de ambos os lados e multiplicando tudo por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
C1
Onde $ C = 2(C_2 - C_1) $ é uma nova constante que engloba as anteriores.

Passo 7

Arranjando os termos, temos a solução geral da equação diferencial:
x^2 + y^2 = C
Isso representa a equação de um círculo com raio raizC.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ x^2 + y^2 = C $, onde $ C $ é uma constante.

Exercícios relacionados