Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Um quadrado de lado a e densidade constante, em rotação sobre uma diagonal.

Passo 1

A questão apresenta um quadrado de lado a e densidade superficial uniforme rho. Precisamos encontrar (1) a massa total, (2) o centro de massa e (3) o momento de inércia em relação à diagonal do quadrado.

Passo 2

Como a densidade é constante, a massa total m é dada pela densidade vezes a área. A área do quadrado é a^2, logo
m = rho ; a^2

Passo 3

O centro de massa de uma lâmina homogênea coincide com seu centro geométrico. Colocando o sistema de coordenadas com vértices em (0,0), (a,0), (0,a) e (a,a), o centro de massa fica em
l(bar x,bar yr)=l(tfraca2,tfraca2r)

Passo 4

Para o momento de inércia em relação à diagonal que liga (0,0) a (a,a), usamos a definição
I = integral d m,r^2,
onde r é a distância perpendicular de um ponto (x,y) à reta y=x. Essa distância vale
r = |y - x|raiz2
e d m = rho,dx,dy. Assim
$$I = \rho \int_{0}{a}!!\int_{0}{a} \frac{(y - x)^2}{2} ,dx,dy.
$$

Passo 5

Ao expandir e calcular as integrais duplas, encontra-se
$$I = \frac{\rho}{2}\Bigl(2\tfrac{a^4}{3} - 2\tfrac{a^4}{4}\Bigr) = \frac{\rho,a^4}{12}.
$$

Passo 6

Substituindo rho = m/a^2, o momento de inércia em função de m e a fica
$$I = \frac{m,a^2}{12}.
$$

Resposta

Massa total: m=rho,a^2; Centro de massa: (tfraca2,tfraca2); Momento de inércia sobre a diagonal: I=tfracm,a^212.

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