Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Um quadrado de lado
e densidade constante, em rotação sobre uma diagonal.
Um quadrado de lado
Passo 1
A questão apresenta um quadrado de lado
e densidade superficial uniforme
. Precisamos encontrar (1) a massa total, (2) o centro de massa e (3) o momento de inércia em relação à diagonal do quadrado.
Passo 2
Como a densidade é constante, a massa total
é dada pela densidade vezes a área. A área do quadrado é
, logo
Passo 3
O centro de massa de uma lâmina homogênea coincide com seu centro geométrico. Colocando o sistema de coordenadas com vértices em
,
,
e
, o centro de massa fica em
Passo 4
Para o momento de inércia em relação à diagonal que liga
a
, usamos a definição
onde
e
. Assim
$$I = \rho \int_{0}{a}!!\int_{0}{a} \frac{(y - x)^2}{2} ,dx,dy.
$$
Passo 5
Ao expandir e calcular as integrais duplas, encontra-se
$$I = \frac{\rho}{2}\Bigl(2\tfrac{a^4}{3} - 2\tfrac{a^4}{4}\Bigr) = \frac{\rho,a^4}{12}.
$$
Passo 6
Substituindo
, o momento de inércia em função de
e
fica
$$I = \frac{m,a^2}{12}.
$$
Resposta
Massa total:
; Centro de massa:
; Momento de inércia sobre a diagonal:
.