Considere f(x)=x se 0<x<k, f(x)=0 se x>k. Encontre \hat{f}_{c}(w).

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede a sua transformada cosseno \hat{f}_{c}(w). As informações relevantes são:
  • f(x)=x para 0<x<k.
  • f(x)=0 para x>k.
  • Precisa-se encontrar \hat{f}_{c}(w) (a transformada cosseno de f) como função de w.

Passo 2

Primeiro preciso escolher a definição da transformada cosseno a usar. Vou adotar a definição padrão sem fatores de normalização:
\hat{f}_{c}(w)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(w x)\,dx.
Expliquei a escolha porque é a forma mais comum em cursos de análise/EDO/transformadas e porque o enunciado não dá outra convenção. Se outra normalização fosse exigida, multiplicadores constantes teriam que aparecer no resultado.

Passo 3

Como f(x)=0 para x>k, a integral sobre [0,\infty) reduz-se a uma integral sobre [0,k]. Assim
\hat{f}_{c}(w)=\int_{0}^{k} x\cos(w x)\,dx.
Isto simplifica bastante: temos uma integral de uma função polinomial vezes cosseno em intervalo finito.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{k} x\cos(w x)\,dx uso integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=\cos(w x)\,dx. Então v é uma primitiva de \cos(w x):
v=\frac{\sin(w x)}{w}\quad\text{(válido para }w\neq 0\text{)}.á
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{k} x\cos(w x)\,dx = \left. x\cdot\frac{\sin(w x)}{w} \right|_{0}^{k} - \int_{0}^{k} \frac{\sin(w x)}{w}\,dx.

Passo 5

Avalio os termos. O primeiro termo dá
\left. x\cdot\frac{\sin(w x)}{w} \right|_{0}^{k} = \frac{k\sin(w k)}{w} - 0.
O segundo termo é \dfrac{1}{w}\int_{0}^{k}\sin(w x)\,dx. Uma primitiva de \sin(w x) é -\dfrac{\cos(w x)}{w}. Logo
\int_{0}^{k} \frac{\sin(w x)}{w}\,dx = \frac{1}{w}\left[-\frac{\cos(w x)}{w}\right]_{0}^{k} = -\frac{1}{w^{2}}\big(\cos(w k)-\cos 0\big) = -\frac{1}{w^{2}}\big(\cos(w k)-1\big).
Substituindo de volta:
\int_{0}^{k} x\cos(w x)\,dx = \frac{k\sin(w k)}{w} - \left( -\frac{1}{w^{2}}\big(\cos(w k)-1\big)\right) = \frac{k\sin(w k)}{w} + \frac{\cos(w k)-1}{w^{2}}.

Passo 6

O resultado acima foi obtido supondo w\neq 0 (porque usei v=\sin(wx)/w). Precisamos também do caso w=0. Para w=0 a definição dá
\hat{f}_{c}(0)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(0\cdot x)\,dx=\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{k} x\,dx=\frac{k^{2}}{2}.
Consistência: tomando o limite da expressão para w\to 0 obtém-se o mesmo valor \dfrac{k^{2}}{2}, portanto a expressão estendida por continuidade está correta.

Passo 7

Resumo interpretativo breve (como usar na prova): quando a função tem suporte compacto em [0,k], a transformada cosseno é simplesmente a integral de x\cos(wx) de 0 a k. A técnica padrão é integração por partes (escolher u como a parte polinomial x e dv como a parte trigonométrica). Não esquecer de tratar w=0 separadamente (ou verificar o limite).

Resposta

\hat{f}_{c}(w)= \begin{cases} \dfrac{k\sin(w k)}{w}+\dfrac{\cos(w k)-1}{w^{2}}, & w\neq 0,\\[8pt] \dfrac{k^{2}}{2}, & w=0. \end{cases}]

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