Encontre mathscrLf(t) para cada função a seguir:
f(t)= t, & se 0 <= t<1 1, & se t >= 1

Passo 1

O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace de uma função definida em partes. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar usar a definição de mathscrLf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt, além de dividir a integral conforme as duas regiões onde f(t) muda e usar integração por partes.

Passo 2

Pela definição,
mathscrLf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt=integral0^1 t,e^-st,dt+integral1^infty1cdot e^-st,dt

Passo 3

Para calcular integral0^1 t,e^-st,dt, faça integração por partes escolhendo u=t e dv=e^-st,dt. Assim chegamos a
integral0^1 t,e^-st,dt=1 - e^-s(s+1)s^2

Passo 4

Para a segunda integral temos
integral1^inftye^-st,dt=l[-tfrac1se^-str]1^infty=e^-ss

Passo 5

Somando os resultados:
mathscrLf(t)=1 - e^-s(s+1)s^2+e^-ss

Passo 6

Basta agora simplificar a expressão combinando termos semelhantes.

Resposta

mathscrLf(t)=1 - e^-ss^2

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