Encontre a matriz de cada operador em L\left(\mathbb{R}^{3}\right) em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3} :
F(x, y, z)=(z, y+z, x+y+z)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
F(x,y,z) = (z,\; y+z,\; x+y+z).
O que é pedido: encontrar a matriz de F em relação à base canônica de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes:
  • A base canônica é \;e_1=(1,0,0),\; e_2=(0,1,0),\; e_3=(0,0,1).
  • Para obter a matriz na base canônica, basta calcular as imagens F(e_1),F(e_2),F(e_3) e colocar essas imagens como colunas da matriz.

Passo 2

Vou calcular F(e_1). Substituo (x,y,z)=(1,0,0) em F:
F(1,0,0) = \big(z,\; y+z,\; x+y+z\big) = \big(0,\;0+0,\;1+0+0\big).
Portanto
F(e_1) = (0,0,1).

Passo 3

Agora calculo F(e_2). Substituo (x,y,z)=(0,1,0) em F:
F(0,1,0) = \big(z,\; y+z,\; x+y+z\big) = \big(0,\;1+0,\;0+1+0\big).
Portanto
F(e_2) = (0,1,1).

Passo 4

Agora calculo F(e_3). Substituo (x,y,z)=(0,0,1) em F:
F(0,0,1) = \big(z,\; y+z,\; x+y+z\big) = \big(1,\;0+1,\;0+0+1\big).
Portanto
F(e_3) = (1,1,1).

Passo 5

Explico por que as imagens formam as colunas da matriz: se a base é canônica, as coordenadas de F(e_j) em relação a essa base são exatamente os vetores F(e_j) escritos como colunas. Assim a matriz [F] terá as colunas F(e_1),F(e_2),F(e_3) nessa ordem.

Passo 6

Formo a matriz de F na base canônica colocando as imagens encontradas como colunas:
[F] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação extra (útil na prova): aplicando essa matriz a um vetor genérico (x,y,z) obtém-se
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z\\[4pt] y+z\\[4pt] x+y+z \end{pmatrix},
que coincide com F(x,y,z). Logo a matriz está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}]

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