Encontre a matriz canônica da transformação T: R^2 R^2 que primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal e, depois, faz uma rotação de -pi / 2 radianos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz canônica de uma transformação linear que primeiro reflete os pontos em relação ao eixo horizontal e depois rotaciona esses pontos radianos. Vamos usar conceitos de matrizes de transformações lineares e operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reflexão em relação ao eixo horizontal. Quando refletimos um ponto no eixo horizontal, a coordenada R = 1 & 0 0 & -1 muda de sinal, enquanto a coordenada permanece a mesma. A matriz que faz essa reflexão é:

Passo 3

Agora, vamos ver a rotação de Rot(theta) = cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) radianos. Rotacionar um ponto Rot(-pi2) = cos(-pi2) & -sin(-pi2) sin(-pi2) & cos(-pi2) = 0 & 1 -1 & 0 radianos no sentido horário é representado pela seguinte matriz:
Substituindo :

Passo 4

A transformação T = Rot(-pi2) cdot R = 0 & 1 -1 & 0 cdot 1 & 0 0 & -1 = 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot (-1) -1 cdot 1 + 0 cdot 0 & -1 cdot 0 + 0 cdot (-1) = 0 & -1 -1 & 0 faz primeiro a reflexão e depois a rotação. Para encontrar a matriz canônica de , precisamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações:

Resposta

A matriz canônica da transformação 0 & -1 -1 & 0 é:

Exercícios relacionados