Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
e
, com as operações usuais.
e
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. O conjunto
é formado por matrizes da forma:
com as condições
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço vetorial de
se atender a três condições:
- Contém o vetor nulo: A matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz qualquer de
por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor nulo:
O vetor nulo em
é a matriz zero:
Vamos verificar se essa matriz está em
. Aqui,
e
. Além disso,
se
. Se
e
, então
, o que satisfaz as condições. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Sabemos que em
,
,
,
e
.
Vamos somar
e
:
Perceba que
e
. Isso segue as mesmas condições que definem
, então
está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em
e multiplicar por um escalar
:
Multiplicando por
:
Vemos que
e
. Isso também satisfaz as condições de
, então
está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.