Verifique se o conjunto W com as operações indicadas é um subespaço vetorial de V :
e V=M2(R), W=[lla & b c & d] ; c=a+b, com as operações usuais.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto a & b c & d é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. O conjunto é formado por matrizes da forma:
com as condições e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço vetorial de se atender a três condições:
  1. Contém o vetor nulo: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz qualquer de por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor nulo:
O vetor nulo em 0 & 0 0 & 0 é a matriz zero:
Vamos verificar se essa matriz está em . Aqui, e . Além disso, se . Se e , então , o que satisfaz as condições. Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a1 & b1 c1 & d1 e B = a2 & b2 c2 & d2 :
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2 = a1 + a2 & b1 + b2 (a1 + b1) + (a2 + b2) & 0 + 0 = a1 + a2 & b1 + b2 (a1 + a2) + (b1 + b2) & 0
Sabemos que em , , , e .
Vamos somar e :
Perceba que e . Isso segue as mesmas condições que definem , então está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em A = a & b c & d onde c = a + b e d = 0 e multiplicar por um escalar kA = ka & kb kc & kd = ka & kb k(a + b) & 0 :
Multiplicando por :
Vemos que e . Isso também satisfaz as condições de , então está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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