Encontre, se existir, uma matriz P que diagonalize A=[ll2 & 1 1 & 2] e calcule A^5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada 2 & 1 1 & 2 e queremos encontrar uma matriz que diagonalize . Isso significa que queremos escrever como , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de . Depois de encontrar , também vamos calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

O primeiro passo para diagonalizar é encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante A - lambda I = 2 - lambda & 1 1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (1)(1) = (2 - lambda)^2 - 1
= 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3
lambda^2 - 4lambda + 3 = 0
Agora, igualamos a zero:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 :
lambda1 = 4 + 22 = 3 e lambda2 = 4 - 22 = 1
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores A - 3I = 2-3 & 1 1 & 2-3 = -1 & 1 1 & -1 e - v1 + v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 , agora encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com 1 1 .
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Agora, para A - I = 2-1 & 1 1 & 2-1 = 1 & 1 1 & 1 , resolvemos v1 + v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2 :
1 -1
O sistema é:
Escolhendo , obtemos o autovetor .

Passo 7

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos formar a matriz P = 1 & 1 1 & -1 , D = 3 & 0 0 & 1 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Passo 8

Verificamos que D^5 = 3^5 & 0 0 & 1^5 = 243 & 0 0 & 1 . Agora, para calcular , usamos a propriedade de que . Então, calculamos :

Passo 9

Finalmente, calculamos A^5 = P D^5 P^-1 = 1 & 1 1 & -1 243 & 0 0 & 1 1-2 -1 & -1 -1 & 1 usando A^5 = 121 & 121 121 & 121 , e :
Após realizar as multiplicações e simplificações, encontramos:

Resposta

A matriz 1 & 1 1 & -1 que diagonaliza 121 & 121 121 & 121 é e .

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