Temos explicitamente todos os elementos da matriz A (listados acima).
A pergunta exige encontrar uma matriz diagonal D tal que exista uma matriz invertível P com
P^{-1} A P = D.
(A pergunta não exige explicitamente encontrar P, apenas uma matriz diagonal semelhante a A.)]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): uma matriz D é semelhante a A e diagonal se as entradas de D forem autovalores (eigenvalues) de A e se A for diagonalizável. Para achar esses autovalores calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
cuja variável é \lambda. As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores de A. Vou mostrar como montar e calcular esse determinante passo a passo.
Multiplicando por -1 (para ficar com coeficiente principal positivo) temos o polinômio característico
p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2-3\lambda+2.]
Passo 4
Agora encontramos as raízes de p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2-3\lambda+2.
Testando raízes racionais possíveis (divisores de 2), avaliamos p(1)=1-4-3+2=-4 (não zero), p(2)=8-16-6+2=-12 (não zero), p(-1)=-1-4+3+2=0. Logo \lambda=-1 é raiz. Fazemos a divisão polinomial por (\lambda+1) (divisão sintética):
coeficientes 1,\,-4,\,-3,\,2. Dividindo por -1 obtemos o quociente com coeficientes 1,\,-5,\,2, ou seja o polinômio quadrático
\lambda^2-5\lambda+2.
Resolvemos essa quadrática pela fórmula de Bhaskara:
Importante observação teórica e prática para a prova: quando uma matriz quadrada tem n autovalores distintos (aqui 3 autovalores distintos para uma matriz 3\times3), então os autovetores correspondentes são linearmente independentes. Isso garante que existe uma matriz invertível P cujas colunas são esses três autovetores, e assim P^{-1}AP é a matriz diagonal com esses autovalores na diagonal. Logo A é diagonalizável e uma matriz diagonal semelhante a A é simplesmente a matriz diagonal formada pelos seus autovalores.
(A demonstração rápida do porquê: autovetores associados a autovalores distintos são automaticamente linearmente independentes — na prática de prova você pode afirmar isso sem desenvolver a prova completa, pois é um resultado padrão.)
Como exemplo construtivo rápido e para te deixar mais seguro: para \lambda_1=-1 podemos calcular um autovetor resolvendo (A-(-1)I)v=(A+I)v=0; fazendo as contas obtemos, por exemplo, o autovetor
o que confirma que há autovetor não-nulo para \lambda=-1. Para os outros dois autovalores o procedimento é o mesmo (resolver (A-\lambda_i I)v=0), embora as entradas envolvam \sqrt{17}. Não é necessário calcular explicitamente esses autovetores para responder ao enunciado quando só se pede uma matriz diagonal semelhante: basta listar os autovalores na diagonal.]
Passo 6
Concluímos então que uma matriz diagonal semelhante a A é a matriz diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores que encontramos. Posso escolher qualquer ordem das entradas diagonais (isso corresponde a escolher a ordem das colunas de P). Uma escolha natural é colocar os autovalores na ordem -1,\;\dfrac{5+\sqrt{17}}{2},\;\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}. Assim a matriz diagonal semelhante é