Encontre uma matriz diagonal semelhante à matriz A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & -1 \\\\ -6 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre uma matriz diagonal semelhante à matriz A".
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}3 & -1 & -1 \\[4pt] -6 & 1 & 2 \\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  1. Temos explicitamente todos os elementos da matriz A (listados acima).
  2. A pergunta exige encontrar uma matriz diagonal D tal que exista uma matriz invertível P com
P^{-1} A P = D.
(A pergunta não exige explicitamente encontrar P, apenas uma matriz diagonal semelhante a A.)]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): uma matriz D é semelhante a A e diagonal se as entradas de D forem autovalores (eigenvalues) de A e se A for diagonalizável. Para achar esses autovalores calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
cuja variável é \lambda. As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores de A. Vou mostrar como montar e calcular esse determinante passo a passo.

Passo 3

Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}3-\lambda & -1 & -1 \\[4pt] -6 & 1-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante por expansão na primeira linha (ou outra forma equivalente). Usando a fórmula
\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-6 & 2 \\[4pt] 2 & -\lambda\end{pmatrix} +(-1)\det\begin{pmatrix}-6 & 1-\lambda \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
vamos calcular cada menor:
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-\lambda)-2\cdot 1 = -\lambda(1-\lambda)-2 = \lambda^2-\lambda-2.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}-6 & 2 \\[4pt] 2 & -\lambda\end{pmatrix} =(-6)(-\lambda)-2\cdot 2 =6\lambda-4.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}-6 & 1-\lambda \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} =(-6)\cdot 1-(1-\lambda)\cdot 2 =-6-2(1-\lambda) =-8+2\lambda.
Substituindo de volta:
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=(3-\lambda)\big(\lambda^2-\lambda-2\big)+(6\lambda-4)+\big(8-2\lambda\big)\\[4pt] &=(3-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)+(4\lambda+4). \end{aligned}
Agora expandimos (3-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2):
(3-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)=3\lambda^2-3\lambda-6-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda =-\lambda^3+4\lambda^2-\lambda-6.
Somando 4\lambda+4 obtemos
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+4\lambda^2+3\lambda-2.
Multiplicando por -1 (para ficar com coeficiente principal positivo) temos o polinômio característico
p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2-3\lambda+2.]

Passo 4

Agora encontramos as raízes de p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2-3\lambda+2.
Testando raízes racionais possíveis (divisores de 2), avaliamos p(1)=1-4-3+2=-4 (não zero), p(2)=8-16-6+2=-12 (não zero), p(-1)=-1-4+3+2=0. Logo \lambda=-1 é raiz. Fazemos a divisão polinomial por (\lambda+1) (divisão sintética):
coeficientes 1,\,-4,\,-3,\,2. Dividindo por -1 obtemos o quociente com coeficientes 1,\,-5,\,2, ou seja o polinômio quadrático
\lambda^2-5\lambda+2.
Resolvemos essa quadrática pela fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}.
Portanto os três autovalores (raízes de p) são
\lambda_1=-1,\qquad \lambda_2=\frac{5+\sqrt{17}}{2},\qquad \lambda_3=\frac{5-\sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Importante observação teórica e prática para a prova: quando uma matriz quadrada tem n autovalores distintos (aqui 3 autovalores distintos para uma matriz 3\times3), então os autovetores correspondentes são linearmente independentes. Isso garante que existe uma matriz invertível P cujas colunas são esses três autovetores, e assim P^{-1}AP é a matriz diagonal com esses autovalores na diagonal. Logo A é diagonalizável e uma matriz diagonal semelhante a A é simplesmente a matriz diagonal formada pelos seus autovalores.
(A demonstração rápida do porquê: autovetores associados a autovalores distintos são automaticamente linearmente independentes — na prática de prova você pode afirmar isso sem desenvolver a prova completa, pois é um resultado padrão.)
Como exemplo construtivo rápido e para te deixar mais seguro: para \lambda_1=-1 podemos calcular um autovetor resolvendo (A-(-1)I)v=(A+I)v=0; fazendo as contas obtemos, por exemplo, o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},
o que confirma que há autovetor não-nulo para \lambda=-1. Para os outros dois autovalores o procedimento é o mesmo (resolver (A-\lambda_i I)v=0), embora as entradas envolvam \sqrt{17}. Não é necessário calcular explicitamente esses autovetores para responder ao enunciado quando só se pede uma matriz diagonal semelhante: basta listar os autovalores na diagonal.]

Passo 6

Concluímos então que uma matriz diagonal semelhante a A é a matriz diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores que encontramos. Posso escolher qualquer ordem das entradas diagonais (isso corresponde a escolher a ordem das colunas de P). Uma escolha natural é colocar os autovalores na ordem -1,\;\dfrac{5+\sqrt{17}}{2},\;\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}. Assim a matriz diagonal semelhante é
D=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{5+\sqrt{17}}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{5+\sqrt{17}}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \end{pmatrix}]

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