Verifique se os seguintes operadores lineares sāo diagonalizáveis, caso seja, determine sua matriz diagonal. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-2 y-2 z, y, 2 y+3 z).
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(x-2y-2z,\; y,\; 2y+3z).
O que nos pedem:
Verificar se T é diagonalizável.
Caso seja diagonalizável, determinar sua matriz diagonal (isto é, uma matriz diagonal D tal que exista uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores e P^{-1}AP=D, onde A é a matriz de T na base canônica).
Informações relevantes dadas:
A regra de T para um vetor genérico (x,y,z) está explicitada acima.
Trabalhamos em \mathbb{R}^3 com a base canônica habitual.
Passo 2
Primeiro passo prático: obter a matriz A de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, lembrando que as colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3).
Lembrete didático (rápido e direto): um operador (ou matriz) é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores. Em termos de autovalores \lambda, para cada autovalor temos duas multiplicidades importantes:
multiplicidade algébrica: multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico;
multiplicidade geométrica: dimensão do espaço próprio (espaço de autovetores) correspondente a \lambda.
A matriz é diagonalizável se, para todo autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica (equivalente a existirem 3 autovetores linearmente independentes aqui).
Para encontrar autovalores e autovetores vamos calcular o polinômio característico e resolver (A-\lambda I)v=0.
Passo 4
Calculemos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Temos
Escrevendo o sistema (A-I)(x,y,z)^T=0 obtemos as equações:
-2y-2z=0,\quad 0=0,\quad 2y+2z=0.
As duas equações não-triviais são equivalentes e dão y+z=0, ou seja y=-z. Não há equação envolvendo x, então x é livre. Portanto os vetores próprios têm a forma
(x,y,z)=(s,\,-t,\,t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 2 (dois parâmetros livres s,t) — ou seja, multiplicidade geométrica igual a 2, que coincide com a multiplicidade algébrica. Podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo:
v_1=(1,0,0),\qquad v_2=(0,-1,1).
Verificação rápida: T(1,0,0)=(1,0,0)=1\cdot(1,0,0) e T(0,-1,1)=(0,-1,1)=1\cdot(0,-1,1).]
Passo 6
Agora o espaço próprio para \lambda=3. Resolva (A-3I)v=0.
Das duas últimas obtemos y=0. Substituindo na primeira: -2x-2z=0 dá x=-z. Portanto os vetores próprios têm a forma
(x,y,z) = (-t,0,t),\qquad t\in\mathbb{R}.
O espaço próprio tem dimensão 1, que coincide com a multiplicidade algébrica 1. Um autovetor convenientemente escolhido é
v_3 = (-1,0,1).
Verificação: T(-1,0,1)=3\cdot(-1,0,1).]
Passo 7
Agora resumindo as dimensões dos espaços próprios:
para \lambda=1: multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2 (autovetores v_1,v_2);
para \lambda=3: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1 (autovetor v_3).
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, temos três autovetores linearmente independentes. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A, logo A (e portanto T) é diagonalizável.
Passo 8
Escolhendo a base de autovetores na ordem v_1=(1,0,0),\,v_2=(0,-1,1),\,v_3=(-1,0,1), a matriz diagonal correspondente tem os autovalores nas posições da diagonal na mesma ordem: os dois primeiros valores 1,1 (para v_1,v_2) e o terceiro 3 (para v_3). Assim a matriz diagonal é