Verifique se os seguintes operadores lineares sāo diagonalizáveis, caso seja, determine sua matriz diagonal. T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}), T(a x^{2}+b x+c)=a x^{3}+b x^{2}+c x
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R})
definido por
T(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+bx^{2}+cx.
O que se pede: verificar se T é diagonalizável e, se for, determinar a matriz diagonal associada. Informações relevantes fornecidas: domínio P_{2}(\mathbb{R}) (espaço de polinômios de grau ≤ 2, dimensão 3), contradomínio P_{3}(\mathbb{R}) (espaço de polinômios de grau ≤ 3, dimensão 4), e a regra explícita de T.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significa “diagonalizável” de forma bem prática e sem enrolação. Uma aplicação linear S: V\to V (note: precisa ser um operador no mesmo espaço, ou seja, domínio = contradomínio) é dita diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de S. Isso é equivalente a existir uma base em que a matriz de S seja uma matriz diagonal (e, por definição, uma matriz diagonal é uma matriz quadrada).
Um autovetor v e seu autovalor \lambda satisfazem
S(v)=\lambda v,
ou seja, a aplicação manda v para um múltiplo escalar de v. Note que essa equação só faz sentido se S(v) e v estiverem no mesmo espaço — por isso precisamos de S:V\to V.
Conclusão importante: se a aplicação linear não é um endomorfismo (domínio diferente do contradomínio, ou dimensões diferentes), o conceito clássico de diagonalizável (como ter uma matriz diagonal quadrada por similaridade) não se aplica diretamente.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de T nas bases canônicas escolhidas para clareza (isso ajuda a ver por que não é possível diagonalizar no sentido usual). Escolhemos as bases:
\text{base de }P_{2}(\mathbb{R}):\quad \{x^{2},x,1\},
\text{base de }P_{3}(\mathbb{R}):\quad \{x^{3},x^{2},x,1\}.
Calculamos as imagens dos vetores da base de P_{2} e escrevemos suas coordenadas na base de P_{3}.
Para x^{2}:
T(x^{2})=x^{3},
que tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} na base \{x^{3},x^{2},x,1\}.
Para x:
T(x)=x^{2},
que tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para 1:
T(1)=x,
que tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas na ordem da base de P_{2} obtemos a matriz de T (matriz 4\times 3):
Essa é a representação matricial de T nas bases escolhidas.]
Passo 4
Observações finais e conclusão lógica: a matriz A de T é uma matriz 4\times 3, isto é, não é quadrada. Uma matriz diagonal (no sentido habitual) é sempre quadrada; a noção de “diagonalizável” (existência de uma base que transforma a matriz em diagonal por similaridade) exige matriz quadrada porque similaridade e autovalores/autovetores são conceitos para endomorfismos (mesmo espaço de partida e chegada). Portanto, não podemos falar que T é diagonalizável no sentido padrão — simplesmente porque T não é uma aplicação de um espaço em si mesmo (P_{2} \neq P_{3} como espaços; dimensões diferentes).
Breve comentário extra, para tirar dúvidas: T é injetora (se T(ax^{2}+bx+c)=0 então a=b=c=0), e sua imagem é o subespaço \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{x^{3},x^{2},x\}, de dimensão 3. Há uma isomorfia entre P_{2} e \operatorname{Im}T, mas dizer que T é diagonalizável exigiria escolher um isomorfismo e transformar a situação em um endomorfismo; isso seria construir outro operador diferente de T. O enunciado pede sobre T tal como dado, logo a conclusão direta é a que demos abaixo.